Составьте математическую модель задачи и решите её. Насос фирмы Б выкачивает на 6 литров воды в минуту больше, чем насос фирмы А. Сколько литров воды выкачает насос фирмы А за минуту, если объём воды в 140 литров он выкачивает на 3 минуты дольше, чем насос фирмы Б?

Решение:

1. Обозначим производительность насоса фирмы А за \( x \) литров в минуту.
2. Тогда производительность насоса фирмы Б будет \( x + 6 \) литров в минуту.
3. Время, за которое насос А выкачает 140 литров: \( t_A = \frac{140}{x} \) минут.
4. Время, за которое насос Б выкачает 140 литров: \( t_B = \frac{140}{x+6} \) минут.
5. По условию задачи, насос фирмы А выкачивает 140 литров на 3 минуты дольше, чем насос фирмы Б. Составим уравнение:

\( t_A - t_B = 3 \)

\( \frac{140}{x} - \frac{140}{x+6} = 3 \)

Чтобы решить это уравнение, приведём дроби к общему знаменателю \( x(x+6) \):

\( \frac{140(x+6) - 140x}{x(x+6)} = 3 \)

\( \frac{140x + 840 - 140x}{x^2 + 6x} = 3 \)

\( \frac{840}{x^2 + 6x} = 3 \)

Умножим обе части на \( x^2 + 6x \):

\( 840 = 3(x^2 + 6x) \)

Разделим обе части на 3:

\( 280 = x^2 + 6x \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 6x - 280 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34 \)

Найдём корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20 \)

Так как производительность не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательный корень \( x_2 = -20 \).

Итак, производительность насоса фирмы А равна 14 литров в минуту.

Проверим:

Производительность насоса Б: \( 14 + 6 = 20 \) л/мин.

Время насоса А: \( \frac{140}{14} = 10 \) минут.

Время насоса Б: \( \frac{140}{20} = 7 \) минут.

Разница во времени: \( 10 - 7 = 3 \) минуты. Условие выполнено.

Ответ: Насос фирмы А выкачивает 14 литров воды за минуту.