210. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой: 1) y=x27x + 10 в точке х = 4; 2) y = 2x3 в точке х = -1.

1) y = x² - 7x + 10 в точке x = 4

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y' = 2x - 7\]

• Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x = 4:

\[y'(4) = 2(4) - 7 = 8 - 7 = 1\]

• Шаг 3: Вычисляем значение функции в точке x = 4:

\[y(4) = (4)^2 - 7(4) + 10 = 16 - 28 + 10 = -2\]

• Шаг 4: Уравнение касательной имеет вид:

\[y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)\] \[y - (-2) = 1(x - 4)\] \[y + 2 = x - 4\] \[y = x - 6\]

• Шаг 5: Уравнение нормали имеет вид:

\[y - y_0 = -\frac{1}{y'(x_0)}(x - x_0)\] \[y - (-2) = -\frac{1}{1}(x - 4)\] \[y + 2 = -x + 4\] \[y = -x + 2\]

2) y = 2x³ в точке x = -1

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y' = 6x^2\]

• Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x = -1:

\[y'(-1) = 6(-1)^2 = 6(1) = 6\]

• Шаг 3: Вычисляем значение функции в точке x = -1:

\[y(-1) = 2(-1)^3 = 2(-1) = -2\]

• Шаг 4: Уравнение касательной имеет вид:

\[y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)\] \[y - (-2) = 6(x - (-1))\] \[y + 2 = 6(x + 1)\] \[y + 2 = 6x + 6\] \[y = 6x + 4\]

• Шаг 5: Уравнение нормали имеет вид:

\[y - y_0 = -\frac{1}{y'(x_0)}(x - x_0)\] \[y - (-2) = -\frac{1}{6}(x - (-1))\] \[y + 2 = -\frac{1}{6}(x + 1)\] \[y = -\frac{1}{6}x - \frac{1}{6} - 2\] \[y = -\frac{1}{6}x - \frac{1}{6} - \frac{12}{6}\] \[y = -\frac{1}{6}x - \frac{13}{6}\]