Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке Xo.

Решение:

• 1. Для функции f(x) = 3x - 6 + x³ при X₀=5:
• Найдем значение функции в точке X₀:
• f(5) = 3 * 5 - 6 + 5³ = 15 - 6 + 125 = 9 + 125 = 134
• Найдем производную функции:
• f'(x) = 3 - 0 + 3x² = 3 + 3x²
• Найдем значение производной в точке X₀:
• f'(5) = 3 + 3 * 5² = 3 + 3 * 25 = 3 + 75 = 78
• Уравнение касательной имеет вид: y - f(X₀) = f'(X₀)(x - X₀)
• y - 134 = 78(x - 5)
• y - 134 = 78x - 390
• y = 78x - 390 + 134
• y = 78x - 256
• 2. Для функции f(x) = (2x - 3) / (3y - 4) при X₀=1:
• Данная функция содержит переменную 'y', что делает ее неявной или требует дополнительной информации для нахождения касательной. Предполагая, что это опечатка и имелась в виду функция от 'x', например, f(x) = (2x - 3) / (3x - 4):
• Найдем значение функции в точке X₀:
• f(1) = (2 * 1 - 3) / (3 * 1 - 4) = (2 - 3) / (3 - 4) = -1 / -1 = 1
• Найдем производную функции, используя правило дифференцирования дроби (частного): (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• u = 2x - 3, u' = 2
• v = 3x - 4, v' = 3
• f'(x) = (2 * (3x - 4) - (2x - 3) * 3) / (3x - 4)²
• f'(x) = (6x - 8 - (6x - 9)) / (3x - 4)²
• f'(x) = (6x - 8 - 6x + 9) / (3x - 4)²
• f'(x) = 1 / (3x - 4)²
• Найдем значение производной в точке X₀:
• f'(1) = 1 / (3 * 1 - 4)² = 1 / (3 - 4)² = 1 / (-1)² = 1 / 1 = 1
• Уравнение касательной имеет вид: y - f(X₀) = f'(X₀)(x - X₀)
• y - 1 = 1(x - 1)
• y - 1 = x - 1
• y = x

Финальный ответ:

• 1. Уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x - 6 + x³ в точке X₀=5: y = 78x - 256
• 2. Уравнение касательной к графику функции f(x) = (2x - 3) / (3x - 4) в точке X₀=1: y = x