Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Составьте уравнение касательной у = kx + b к графику функции f(x) в точке x₀, если f(x) = -16/x³ + 2x, x₀ = 2. Укажите значение k. Укажите значение свободного члена b.
Ответ:
Краткое пояснение: Чтобы составить уравнение касательной, нужно найти значение производной функции в заданной точке (это и будет угловой коэффициент k) и значение самой функции в этой точке. Затем подставим всё в уравнение касательной и найдем свободный член b.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Находим производную функции f(x).
\( f(x) = -\frac{16}{x^3} + 2x \)
Преобразуем функцию: \( f(x) = -16x^{-3} + 2x \)
Производная: \( f'(x) = -16 \cdot (-3)x^{-4} + 2 = 48x^{-4} + 2 = \frac{48}{x^4} + 2 \) - Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x₀ = 2.
\( k = f'(2) = \frac{48}{2^4} + 2 = \frac{48}{16} + 2 = 3 + 2 = 5 \)
Итак, угловой коэффициент касательной \( k = 5 \). - Шаг 3: Вычисляем значение функции в точке x₀ = 2.
\( f(2) = -\frac{16}{2^3} + 2 \cdot 2 = -\frac{16}{8} + 4 = -2 + 4 = 2 \) - Шаг 4: Записываем уравнение касательной в общем виде и подставляем известные значения.
\( y = kx + b \)
\( y = 5x + b \)
В точке касания (2; 2): \( 2 = 5 \cdot 2 + b \) - Шаг 5: Находим значение свободного члена b.
\( 2 = 10 + b \)
\( b = 2 - 10 = -8 \)
Ответ: k = 5, b = -8
