Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку K(1; 0; 3) и перпендикулярной прямой a, если известно, что точки M(5; 7; −2) и N(−1; 6; 8) принадлежат этой прямой. Заполните пропуски в уравнении: впишите неотрицательные числа и выберите знаки.

Направляющий вектор прямой a:

\[\overrightarrow{MN}=(-1-5;\ 6-7;\ 8-(-2))=(-6;\ -1;\ 10).\]

Поскольку плоскость перпендикулярна прямой, направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости. Можно взять противоположный вектор нормали \((6;\ 1;\ -10)\).

Подставим нормаль и точку K(1; 0; 3) в уравнение плоскости:

\[6(x-1)+(y-0)-10(z-3)=0.\]

После раскрытия скобок получаем \(6x+y-10z+24=0\).

Ответ: \(6x+y-10z+24=0\). В пропуски: знак «+», число 6; знак «+», число 1; знак «−», число 10.