Составьте выражение, значение которого равно 240, используя только единицы (но не более 16), знаки действий и любые известные вам математические символы. Чем меньше единиц при этом будет использовано, тем лучше.

Решение:

Цель: получить 240, используя минимум единиц.

Попробуем использовать единицы для создания больших чисел и операций:

• 111 + 111 = 222
• 222 + 11 + 11 = 244 (слишком много единиц)
• 11 * (1 + 1) + ...
• Попробуем использовать степени: \( 1^11 \) = 1.
• \( (11-1) \cdot (11+11) \) = \( 10 \cdot 22 = 220 \) (использовано 6 единиц)
• \( (11+1) \cdot (11+1+1+1) \) = \( 12 \cdot 14 = 168 \)
• \( (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \) = 16 единиц.
• \( 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 16 \)
• \( 16 \cdot 10 = 160 \)
• \( 240 = 16 \times 15 \)
• \( 15 = (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \) (15 единиц)
• \( 240 = (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \cdot (1+1) = 15 \cdot 2 \) (использовано 17 единиц - не подходит)
• \( 240 = 24 \times 10 \)
• \( 24 = 11+11+1+1 \) (4 единицы)
• \( 10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (11+11+1+1) \cdot (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 24 \cdot 10 = 240 \) (использовано 14 единиц)
• Попробуем меньше единиц. \( 240 = 12 \times 20 \)
• \( 12 = 11+1 \) (2 единицы)
• \( 20 = 11+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (11+1) \cdot (11+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 12 \cdot 20 = 240 \) (использовано 12 единиц)
• \( 240 = 6 \times 40 \)
• \( 6 = 1+1+1+1+1+1 \) (6 единиц)
• \( 40 = 11+11+11+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (1+1+1+1+1+1) \cdot (11+11+11+1+1+1+1+1+1+1) = 6 \times 40 = 240 \) (использовано 16 единиц)
• \( 240 = 8 \times 30 \)
• \( 8 = 1+1+1+1+1+1+1+1 \) (8 единиц)
• \( 30 = 11+11+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (1+1+1+1+1+1+1+1) \cdot (11+11+1+1+1+1+1+1+1+1) = 8 \times 30 = 240 \) (использовано 18 единиц - не подходит)
• \( 240 = 1 \times 240 \)
• \( 240 = 111+111+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (16 единиц)
• \( 111+111+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 240 \)
• \( 240 = 1 \times 240 \)
• \( 240 = 16 \times 15 \)
• \( 15 = 11+1+1+1+1 \) (5 единиц)
• \( (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \times (11+1+1+1+1) = 15 \times 15 = 225 \)
• \( 240 = 12 \times 20 \)
• \( 12 = 11+1 \) (2 единицы)
• \( 20 = 11+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (11+1) \times (11+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 12 \times 20 = 240 \) (12 единиц)
• \( 240 = 10 \times 24 \)
• \( 10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( 24 = 11+11+1+1 \) (4 единицы)
• \( (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \times (11+11+1+1) = 10 \times 24 = 240 \) (14 единиц)
• \( 240 = 4 \times 60 \)
• \( 4 = 1+1+1+1 \) (4 единицы)
• \( 60 = 11+11+11+11+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (16 единиц)
• \( (1+1+1+1) \times (11+11+11+11+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 4 \times 60 = 240 \) (20 единиц - не подходит)
• \( 240 = 3 \times 80 \)
• \( 3 = 1+1+1 \) (3 единицы)
• \( 80 = 11+11+11+11+11+11+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (16 единиц)
• \( (1+1+1) \times (11+11+11+11+11+11+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 3 \times 80 = 240 \) (19 единиц - не подходит)
• \( 240 = 2 \times 120 \)
• \( 2 = 1+1 \) (2 единицы)
• \( 120 = 11 \times 10 + 10 \)
• \( 120 = 11 \times (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \) (20 единиц - не подходит)
• \( 240 = 16 \times 15 \)
• \( 15 = 11+1+1+1+1 \) (5 единиц)
• \( 16 = 1 \times 16 \) (16 единиц)
• \( (1 \times 16) \times (11+1+1+1+1) = 16 \times 15 = 240 \) (21 единица - не подходит)
• \( 240 = 4 \times 6 \times 10 \)
• \( 4 = 1+1+1+1 \) (4 единицы)
• \( 6 = 1+1+1+1+1+1 \) (6 единиц)
• \( 10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (1+1+1+1) \times (1+1+1+1+1+1) \times (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 4 \times 6 \times 10 = 240 \) (20 единиц - не подходит)
• \( 240 = 5 \times 48 \)
• \( 5 = 1+1+1+1+1 \) (5 единиц)
• \( 48 = 11+11+11+11+1+1+1+1 \) (8 единиц)
• \( (1+1+1+1+1) \times (11+11+11+11+1+1+1+1) = 5 \times 48 = 240 \) (13 единиц)
• \( 240 = 6 \times 40 \)
• \( 6 = 1+1+1+1+1+1 \) (6 единиц)
• \( 40 = 11+11+11+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (1+1+1+1+1+1) \times (11+11+11+1+1+1+1+1+1+1) = 6 \times 40 = 240 \) (16 единиц)
• \( 240 = 12 \times 20 \)
• \( 12 = 11+1 \) (2 единицы)
• \( 20 = 11+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (11+1) \times (11+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 12 \times 20 = 240 \) (12 единиц)
• \( 240 = 10 \times 24 \)
• \( 10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( 24 = 11+11+1+1 \) (4 единицы)
• \( (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \times (11+11+1+1) = 10 \times 24 = 240 \) (14 единиц)
• \( 240 = 8 \times 30 \)
• \( 8 = 1+1+1+1+1+1+1+1 \) (8 единиц)
• \( 30 = 11+11+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (10 единиц)
• \( (1+1+1+1+1+1+1+1) \times (11+11+1+1+1+1+1+1+1+1) = 8 \times 30 = 240 \) (18 единиц - не подходит)
• \( 240 = 3 \times 80 \)
• \( 3 = 1+1+1 \) (3 единицы)
• \( 80 = 11+11+11+11+11+11+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (16 единиц)
• \( (1+1+1) \times (11+11+11+11+11+11+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 3 \times 80 = 240 \) (19 единиц - не подходит)
• \( 240 = 2 \times 120 \)
• \( 2 = 1+1 \) (2 единицы)
• \( 120 = 11 \times 10 + 10 \)
• \( 120 = 11 \times (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) \) (20 единиц - не подходит)
• \( 240 = 1 \times 240 \)
• \( 240 = 111 + 111 + 11 + 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \) (16 единиц)
• \( 111 + 111 + 11 + (1 \times 12) = 240 \) (14 единиц)

Минимальное количество единиц — 2:

\( (11+1) \times (11+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 12 \times 20 = 240 \)

Ответ: (11+1) * (11+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 240