Сосуд объёмом 8 л содержит смесь водорода и гелия общей массой 2 г при давлении 250 кПа. Какова температура смеси, если отношение массы водорода к массе гелия в ней равно 2?

Решение:

Пусть масса водорода \( m_1 \) и масса гелия \( m_2 \). Общая масса \( m = m_1 + m_2 = 2 \) г. Отношение массы водорода к массе гелия \( \frac{m_1}{m_2} = 2 \), откуда \( m_1 = 2 m_2 \).

Подставляем \( m_1 \) в уравнение общей массы:

\( 2 m_2 + m_2 = 2 \) г

\( 3 m_2 = 2 \) г

\( m_2 = \frac{2}{3} \) г

\( m_1 = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \) г

Молярная масса водорода \( M_1 = 2 \cdot 10^{-3} \) кг/моль. Молярная масса гелия \( M_2 = 4 \cdot 10^{-3} \) кг/моль.

Число молей водорода \( \nu_1 = \frac{m_1}{M_1} = \frac{4/3 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = \frac{2}{3} \) моль.

Число молей гелия \( \nu_2 = \frac{m_2}{M_2} = \frac{2/3 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = \frac{1}{6} \) моль.

Общее число молей \( \nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6} \) моль.

Объём сосуда \( V = 8 \) л = \( 8 \cdot 10^{-3} \) м³.

Давление \( P = 250 \) кПа = \( 250 \cdot 10^3 \) Па.

Универсальная газовая постоянная \( R \approx 8.31 \) Дж/(моль·К).

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \( PV = \nu R T \).

Температура \( T = \frac{PV}{\nu R} \) = \( \frac{(250 \cdot 10^3 \text{ Па}) \cdot (8 \cdot 10^{-3} \text{ м³})}{(5/6 \text{ моль}) \cdot (8.31 \text{ Дж/(моль·К)})} \) = \( \frac{2000}{41.55} \approx 48.13 \) К.

Переведём в градусы Цельсия: \( T_{°C} = T_K - 273.15 \) = \( 48.13 - 273.15 \approx -225.02 \) °C.

Ответ: 48.13 К (или -225.02 °C).