СОВ И КОСИНУСОВ Таблица 11 5 K x 60° M 6/3 45° L

Рассмотрим треугольник KLM. Дано: ∠M = 60°, ∠L = 45°, ML = $$6\sqrt{3}$$. Необходимо найти сторону KM = x.

Воспользуемся теоремой синусов:

$$ \frac{KM}{\sin{L}} = \frac{ML}{\sin{K}} $$

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

$$ ∠K = 180° - ∠M - ∠L = 180° - 60° - 45° = 75° $$

Тогда:

$$ \frac{x}{\sin{45°}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin{75°}} $$

Выразим x:

$$ x = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sin{45°}}{\sin{75°}} $$

Найдем значение синуса 75°:

$$ \sin{75°} = \sin{(45° + 30°)} = \sin{45°}\cos{30°} + \cos{45°}\sin{30°} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

Подставим значения синусов в формулу для x:

$$ x = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12\sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$$ x = \frac{12\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 3\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 3(6 - \sqrt{12}) = 3(6 - 2\sqrt{3}) = 18 - 6\sqrt{3} $$

Ответ: $$x = 18 - 6\sqrt{3}$$