Список теоретических вопросов для подготовки к экзамену по физике (2 семестр). 1. Напряженность электростатического поля. Принцип суперпозиции электрических полей. Поток вектора напряженности электростатического поля. Теорема Остроградского — Гаусса для электрического поля в вакууме. Доказать для поля точечного заряда.

Теоретические вопросы к экзамену по физике (2 семестр)

1. Напряженность электростатического поля:
   Напряженность электростатического поля \( \vec{E} \) — это векторная величина, характеризующая электрическое поле и определяемая как отношение силы \( \vec{F} \), действующей на помещённый в поле точечный заряд \( q \), к величине этого заряда: \( \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \). Единица измерения — вольт на метр (В/м) или ньютон на кулон (Н/Кл).
2. Принцип суперпозиции электрических полей:
   Действие нескольких электрических полей на заряд можно рассматривать как сумму действий каждого поля в отдельности. Напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: \( \vec{E} = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_i \).
3. Поток вектора напряженности электростатического поля:
   Поток вектора напряженности \( \Phi_E \) через некоторую поверхность — это мера того, сколько силовых линий напряженности пронизывает эту поверхность. Он вычисляется как скалярное произведение вектора напряженности на вектор площади: \( \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} = E S \cos \alpha \), где \( \alpha \) — угол между векторами \( \vec{E} \) и \( \vec{S} \).
4. Теорема Остроградского — Гаусса для электрического поля в вакууме:
   Теорема утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду \( Q_{вн} \), заключённому внутри этой поверхности: \( \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} \), где \( \varepsilon_0 \) — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Доказательство теоремы Гаусса для поля точечного заряда

Рассмотрим точечный заряд \( q \), помещённый в начало координат. Напряженность поля, создаваемого этим зарядом в точке с радиус-вектором \( \vec{r} \), равна \( \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \vec{e}_r \), где \( \vec{e}_r = \frac{\vec{r}}{r} \) — единичный вектор, направленный от заряда.

Возьмём произвольную замкнутую поверхность \( S \), окружающую заряд. Рассмотрим элемент площади \( d\vec{S} \) этой поверхности. Угол \( \alpha \) между вектором \( \vec{E} \) и нормалью к поверхности \( d\vec{S} \) (внешней нормалью) таков, что \( \cos \alpha = \cos(\vec{e}_r, \vec{n}) \). Где \( \vec{n} \) — единичный вектор внешней нормали к поверхности.

Элемент потока через площадку \( d\vec{S} \) равен \( d\Phi_E = \vec{E} \cdot d\vec{S} = E dS \cos \alpha \).

Заметим, что \( dS \cos \alpha \) — это проекция площадки \( d\vec{S} \) на плоскость, перпендикулярную вектору \( \vec{e}_r \). Величина \( \frac{dS \cos \alpha}{r^2} \) равна телесному углу \( d\Omega \), под которым рассматривается элемент площади \( dS \) из точки заряда.

Таким образом, \( d\Phi_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \cdot r^2 d\Omega = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} d\Omega \).

Для нахождения полного потока через замкнутую поверхность проинтегрируем по всей поверхности:

\[ \Phi_E = \oint_S d\Phi_E = \oint_S \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} d\Omega = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \oint_S d\Omega \]

Полный телесный угол \( \oint_S d\Omega \) для любой замкнутой поверхности, окружающей источник поля, равен \( 4\pi \) стерадиан.

\[ \Phi_E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_0} \]

Что и требовалось доказать.