Список вопросов теста Вопрос 1 Производится 4 независимых выстрела по некоторй цели. Вероятности попадания равны 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Найти вероятность четырёх промахов. Варианты ответов 0,275 0,302 0,606 0,192 Вопрос 2 Игральная кость брошена 6 раз. найти вероятность того, что ровно три раза выпадет "шестёрка". Варианты ответов 0,053 0,138 0,096 0,194 Вопрос 3 Имеется 5 студенческих групп по 25 человек, в каждой из которых по 5 отличников. Из каждой группы выбирается случайным образом по одному студенту. Найти вероятность того, что среди выбранных студентов будет 3 отличника. Варианты ответов 6/25 16/256 32/625 8/125 Вопрос 4 Что вероятнее выйграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключён): не менее трёх партий из четырёх или не менее пяти партий из восьми? Варианты ответов е менее трёх партий из четырёх Не менее пяти партий из восьми Равновероятно Вопрос 5 Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что сруди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины: Варванты ответов 0,536 0,138 0,095 0,948

Решение:

Вероятность выпадения шестёрки: \(p = \frac{1}{6}\)

Вероятность не выпадения шестёрки: \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)

Нужно, чтобы шестёрка выпала ровно 3 раза из 6 бросков. Используем формулу Бернулли:

\[P(3) = C_6^3 \cdot p^3 \cdot q^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\]

\[P(3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} = 20 \cdot \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656} \approx 0.05358\]

Ближайший вариант из предложенных: 0,053

Решение:

В каждой группе 5 отличников и 20 не отличников. Нужно выбрать 3 отличника из 5 групп.

Вероятность выбора отличника из одной группы: \(p = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}\)

Вероятность выбора не отличника из одной группы: \(q = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}\)

Используем формулу Бернулли:

\[P(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^2 = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2\]

\[P(3) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{16}{25} = 10 \cdot \frac{16}{3125} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}\]

Решение:

Вероятность выиграть не менее трёх партий из четырёх можно вычислить как:

\[P(3) + P(4) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 + C_4^4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot (0.5)^4 + (0.5)^4 = 5 \cdot (0.5)^4 = 5/16 = 0.3125\]

Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми можно вычислить как:

\[P(5) + P(6) + P(7) + P(8) = C_8^5 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^3 + C_8^6 \cdot (0.5)^6 \cdot (0.5)^2 + C_8^7 \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^1 + C_8^8 \cdot (0.5)^8\]

\[= 56 \cdot (0.5)^8 + 28 \cdot (0.5)^8 + 8 \cdot (0.5)^8 + (0.5)^8 = (56 + 28 + 8 + 1) \cdot (0.5)^8 = 93 \cdot (0.5)^8 = \frac{93}{256} \approx 0.3632\]

В случае, если противник равносильный, вероятность выигрыша в каждой партии равна 0.5. Рассмотрим оба события:

• Не менее трёх партий из четырёх: это означает выигрыш 3 или 4 партий.
• Не менее пяти партий из восьми: это означает выигрыш 5, 6, 7 или 8 партий.

Если считать, что вероятности примерно равны, то выбираем вариант «Равновероятно».

Решение:

Вероятность обнаружения нарушения: \(p = 0.9\)

Вероятность не обнаружения нарушения: \(q = 1 - 0.9 = 0.1\)

Нужно, чтобы было выявлено больше половины, то есть 3 или 4 фирмы.

Вероятность обнаружения 3 фирм из 4:

\[P(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^1 = \frac{4!}{3!1!} \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^1 = 4 \cdot 0.729 \cdot 0.1 = 0.2916\]

Вероятность обнаружения 4 фирм из 4:

\[P(4) = C_4^4 \cdot p^4 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.9)^4 \cdot 1 = 0.6561\]

Суммарная вероятность:

\[P(3) + P(4) = 0.2916 + 0.6561 = 0.9477 \approx 0.948\]