Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x - количество правильных ответов, y - количество неправильных ответов, z - количество пропущенных ответов.

Тогда:

x + y + z = 25 (общее количество вопросов)

7x - 9y + 0z = 56 (набранные очки)

Решим систему уравнений:

Выразим z из первого уравнения: z = 25 - x - y

Подставим во второе уравнение:

7x - 9y = 56

Выразим x через y:

7x = 56 + 9y

$$x = \frac{56 + 9y}{7} = 8 + \frac{9y}{7}$$

Так как x должно быть целым числом, то 9y должно делиться на 7. Это возможно, когда y делится на 7.

По условию задачи, ученик хотя бы раз ошибся, значит y > 0. Наименьшее значение y, которое делится на 7, это y = 7.

Тогда:

$$x = 8 + \frac{9 \cdot 7}{7} = 8 + 9 = 17$$

Проверим:

7*17 - 9*7 = 119 - 63 = 56

Ответ: 17