Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение:

Пусть \(x\) — количество правильных ответов, \(y\) — количество неправильных ответов, \(z\) — количество отсутствующих ответов.

По условию задачи, общее количество вопросов равно 33:

\(x + y + z = 33\)

Набранные очки составляют 56:

\(7x - 13y + 0z = 56\)

\(7x - 13y = 56\)

Известно, что ученик ошибся по крайней мере один раз, значит \(y \ge 1\).

Рассмотрим уравнение \(7x - 13y = 56\).

Так как \(x\) и \(y\) — целые неотрицательные числа, найдём возможные значения.

Перепишем уравнение:

\(7x = 56 + 13y\)

\(x = \frac{56 + 13y}{7} = 8 + \frac{13y}{7}\)

Чтобы \(x\) было целым числом, \(13y\) должно делиться на 7. Так как 13 и 7 — взаимно простые числа, \(y\) должно делиться на 7.

Так как \(y \ge 1\), начнём подставлять значения \(y\), кратные 7:

• Если \(y = 7\):

\(x = 8 + \frac{13 \cdot 7}{7} = 8 + 13 = 21\)

Проверим, соответствует ли это условию \(x + y + z = 33\):

\(21 + 7 + z = 33\)

\(28 + z = 33\)

\(z = 33 - 28 = 5\)

Все условия выполнены: \(x=21\), \(y=7\), \(z=5\). Общее число вопросов \(21 + 7 + 5 = 33\). Очки: \(7 \cdot 21 - 13 \cdot 7 = 147 - 91 = 56\). Ученик ошибся \(y=7 \ge 1\) раз.

Если взять следующее значение \(y\), кратное 7, например \(y = 14\):

\(x = 8 + \frac{13 \cdot 14}{7} = 8 + 13 \cdot 2 = 8 + 26 = 34\)

В этом случае \(x=34\), что больше общего количества вопросов (33), поэтому это значение не подходит.

Следовательно, единственный возможный вариант — 21 верный ответ.

Ответ: 21.