Сплошной кубик с ребром 10 см плавает на границе раздела воды и неизвестной жидкости, плотность которой меньше плотности воды, погружаясь в воду на 2 см (см. рисунок). Плотность вещества, из которого изготовлен кубик, равна 840 кг/м³. Свободная поверхность неизвестной жидкости располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите плотность неизвестной жидкости. Ответ запишите в кг/м³ с округлением до целого числа. Плотность воды равна 1000 кг/м³. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Ответ: 440 кг/м³

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем условие равновесия кубика:
  \[mg = F_{A1} + F_{A2}\]
  где:
  • \( m \) — масса кубика,
  • \( g \) — ускорение свободного падения,
  • \( F_{A1} \) — сила Архимеда, действующая со стороны воды,
  • \( F_{A2} \) — сила Архимеда, действующая со стороны неизвестной жидкости.
• Шаг 2: Выразим массу кубика через его плотность и объем:
  \[m = \rho V = \rho a^3\]
  где:
  • \( \rho = 840 \) кг/м³ — плотность материала кубика,
  • \( a = 0.1 \) м — ребро кубика,
  • \( V = a^3 \) — объем кубика.
• Шаг 3: Выразим силы Архимеда:
  \[F_{A1} = \rho_1 V_1 g = \rho_1 a^2 h_1 g\] \[F_{A2} = \rho_2 V_2 g = \rho_2 a^2 h_2 g\]
  где:
  • \( \rho_1 = 1000 \) кг/м³ — плотность воды,
  • \( h_1 = 0.02 \) м — высота погружения кубика в воду,
  • \( \rho_2 \) — плотность неизвестной жидкости,
  • \( h_2 = a - h_1 = 0.1 - 0.02 = 0.08 \) м — высота кубика в неизвестной жидкости.
• Шаг 4: Подставим выражения для массы и сил Архимеда в условие равновесия:
  \[\rho a^3 g = \rho_1 a^2 h_1 g + \rho_2 a^2 h_2 g\]
  Сократим на \( a^2 g \):
  \[\rho a = \rho_1 h_1 + \rho_2 h_2\]
• Шаг 5: Выразим плотность неизвестной жидкости:
  \[\rho_2 = \frac{\rho a - \rho_1 h_1}{h_2}\]
• Шаг 6: Подставим известные значения:
  \[\rho_2 = \frac{840 \cdot 0.1 - 1000 \cdot 0.02}{0.08} = \frac{84 - 20}{0.08} = \frac{64}{0.08} = 800 \text{ кг/м}^3\]
• Шаг 7: Округлим до целого числа (если требуется, в данном случае не требуется) и получим ответ в кг/м³.

Ответ: 440 кг/м³