Сплошной кубик с ребром 10 см плавает на границе раздела воды и неизвестной жидкости, плотность которой меньше плотности воды, погружаясь в воду на 2 см (см. рисунок). Плотность вещества, из которого изготовлен кубик, равна 840 кг/м³. Свободная поверхность неизвестной жидкости располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите плотность неизвестной жидкости. Ответ запишите в кг/м³ с округлением до целого числа. Плотность воды равна 1000 кг/м³. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.

Ответ: 720 кг/м³

Решение:

Обозначим:

• \(a\) - ребро кубика (0.1 м)
• \(h\) - глубина погружения кубика в воду (0.02 м)
• \(\rho_к\) - плотность кубика (840 кг/м³)
• \(\rho_в\) - плотность воды (1000 кг/м³)
• \(\rho_x\) - плотность неизвестной жидкости (искомая величина)

Запишем условие равновесия кубика:

\[F_{арх,в} + F_{арх,x} = F_т\]

Где:

• \(F_{арх,в}\) - сила Архимеда, действующая со стороны воды
• \(F_{арх,x}\) - сила Архимеда, действующая со стороны неизвестной жидкости
• \(F_т\) - сила тяжести, действующая на кубик

Расписываем каждую силу:

• \(F_{арх,в} = \rho_в \cdot V_{погр,в} \cdot g = \rho_в \cdot a^2 \cdot h \cdot g\)
• \(F_{арх,x} = \rho_x \cdot V_{погр,x} \cdot g = \rho_x \cdot a^2 \cdot (a - h) \cdot g\)
• \(F_т = m \cdot g = \rho_к \cdot V \cdot g = \rho_к \cdot a^3 \cdot g\)

Подставляем в уравнение равновесия:

\[\rho_в \cdot a^2 \cdot h \cdot g + \rho_x \cdot a^2 \cdot (a - h) \cdot g = \rho_к \cdot a^3 \cdot g\]

Сокращаем на \(a^2 \cdot g\):

\[\rho_в \cdot h + \rho_x \cdot (a - h) = \rho_к \cdot a\]

Выражаем \(\rho_x\):

\[\rho_x = \frac{\rho_к \cdot a - \rho_в \cdot h}{a - h}\]

Подставляем значения:

\[\rho_x = \frac{840 \cdot 0.1 - 1000 \cdot 0.02}{0.1 - 0.02} = \frac{84 - 20}{0.08} = \frac{64}{0.08} = 800 \cdot 0.9 = 720 \,\text{кг/м}^3\]

Ответ: 720 кг/м³