7. Сплошной цилиндр состоит из двух слоёв – внутреннего радиусом r (вольфрам, рw = 19,1 кг/м³) и внешнего радиусом 2r (железо, PFe = 7,8 кг/м³). Как и во сколько раз изменится момент инерции цилиндра относительно его продольной оси, если материалы слоёв поменять местами?

Для решения данной задачи необходимо вспомнить формулу для момента инерции цилиндра относительно его продольной оси: $$I = \frac{1}{2} m R^2$$, где $$m$$ - масса цилиндра, $$R$$ - радиус цилиндра.

Масса может быть выражена через плотность и объем: $$m = \rho V$$, где $$\rho$$ - плотность материала, $$V$$ - объем цилиндра. Объем цилиндра равен $$V = \pi R^2 h$$, где $$h$$ - высота цилиндра.

Пусть $$h$$ - высота цилиндра, которая остается неизменной при замене материалов.

Сначала рассмотрим исходную ситуацию, когда внутри вольфрам, снаружи железо.

1. Масса вольфрамового цилиндра (внутри): $$m_W = \rho_W V_W = \rho_W \pi r^2 h = 19.1 \pi r^2 h$$
2. Масса железного цилиндра (снаружи): $$m_{Fe} = \rho_{Fe} V_{Fe} = \rho_{Fe} \pi ((2r)^2 - r^2) h = 7.8 \pi (4r^2 - r^2) h = 7.8 \pi 3r^2 h = 23.4 \pi r^2 h$$
3. Момент инерции вольфрамового цилиндра: $$I_W = \frac{1}{2} m_W r^2 = \frac{1}{2} (19.1 \pi r^2 h) r^2 = 9.55 \pi r^4 h$$
4. Момент инерции железного цилиндра: $$I_{Fe} = \frac{1}{2} m_{Fe} (2r)^2 = \frac{1}{2} (23.4 \pi r^2 h) 4r^2 = 46.8 \pi r^4 h$$
5. Общий момент инерции в исходном состоянии: $$I_1 = I_W + I_{Fe} = 9.55 \pi r^4 h + 46.8 \pi r^4 h = 56.35 \pi r^4 h$$

Теперь рассмотрим ситуацию, когда материалы поменяли местами: внутри железо, снаружи вольфрам.

1. Масса железного цилиндра (внутри): $$m_{Fe} = \rho_{Fe} V_{Fe} = \rho_{Fe} \pi r^2 h = 7.8 \pi r^2 h$$
2. Масса вольфрамового цилиндра (снаружи): $$m_W = \rho_W V_W = \rho_W \pi ((2r)^2 - r^2) h = 19.1 \pi (4r^2 - r^2) h = 19.1 \pi 3r^2 h = 57.3 \pi r^2 h$$
3. Момент инерции железного цилиндра: $$I_{Fe} = \frac{1}{2} m_{Fe} r^2 = \frac{1}{2} (7.8 \pi r^2 h) r^2 = 3.9 \pi r^4 h$$
4. Момент инерции вольфрамового цилиндра: $$I_W = \frac{1}{2} m_W (2r)^2 = \frac{1}{2} (57.3 \pi r^2 h) 4r^2 = 114.6 \pi r^4 h$$
5. Общий момент инерции в новом состоянии: $$I_2 = I_{Fe} + I_W = 3.9 \pi r^4 h + 114.6 \pi r^4 h = 118.5 \pi r^4 h$$

Теперь найдем отношение моментов инерции:

$$ \frac{I_2}{I_1} = \frac{118.5 \pi r^4 h}{56.35 \pi r^4 h} = \frac{118.5}{56.35} \approx 2.103 $$

Таким образом, момент инерции увеличится примерно в 2.103 раза.

Ответ: Момент инерции увеличится примерно в 2.103 раза.