Спорт - составная часть ___________ культуры, соревновательная деятельность, подготовка к ней, а также специфические отношения, нормы и достижения, связанные с этой деятельностью.

Применим ПРОТОКОЛ А (Орфография) и ПРОТОКОЛ Е (Выбор грамматической формы).

Спорт - составная часть (чего?) культуры, поэтому в данном случае необходимо существительное в родительном падеже.

Подходит прилагательное в форме родительного падежа множественного числа - духовной.

Спорт - составная часть духовной культуры, соревновательная деятельность, подготовка к ней, а также специфические отношения, нормы и достижения, связанные с этой деятельностью.

Ответ: духовной