Спринтер пробегает дистанцию в 100 м за 10 секунд. При этом в начале он разгоняется с постоянным ускорением и, достигнув максимальной скорости, продолжает движение с этой скоростью до конца дистанции. На дистанцию в 200 м он затрачивает 18 секунд, пробегая её в том же темпе, что и на дистанции в 100 метров. Определить максимальную скорость спринтера и его ускорение.

Решение:

Обозначим:

• \( S_1 = 100 \) м — первая дистанция.
• \( t_1 = 10 \) с — время прохождения первой дистанции.
• \( S_2 = 200 \) м — вторая дистанция.
• \( t_2 = 18 \) с — время прохождения второй дистанции.
• \( v_{max} \) — максимальная скорость спринтера.
• \( a \) — ускорение спринтера.

Движение спринтера можно разделить на два этапа: разгон с постоянным ускорением \( a \) до максимальной скорости \( v_{max} \) и движение с постоянной максимальной скоростью \( v_{max} \).

Пусть \( t_{уск} \) — время разгона, и \( S_{уск} \) — расстояние, пройденное за время разгона.

Тогда:

• \( v_{max} = a \cdot t_{уск} \)
• \( S_{уск} = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 = \frac{1}{2} v_{max} \cdot t_{уск} \)

Время движения с постоянной скоростью \( v_{max} \) будет \( t_{пост} = t - t_{уск} \), а пройденное расстояние \( S_{пост} = v_{max} \cdot t_{пост} \).

Общее расстояние \( S = S_{уск} + S_{пост} \).

Из условия задачи:

1. Для дистанции 100 м:
• \( 100 = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 + v_{max} \cdot (10 - t_{уск}) \)
• Подставим \( v_{max} = a \cdot t_{уск} \): \( 100 = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 + a \cdot t_{уск} \cdot (10 - t_{уск}) \)
• \( 100 = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 + 10 a \cdot t_{уск} - a \cdot t_{уск}^2 \)
• \( 100 = 10 a \cdot t_{уск} - \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 \)
• \( 100 = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск} (20 - t_{уск}) \)
• \( 200 = a \cdot t_{уск} (20 - t_{уск}) \)
• \( 200 = v_{max} (20 - \frac{v_{max}}{a}) \) — это не упрощает, вернемся к \(a, t_{уск}\)
2. Для дистанции 200 м:
• \( 200 = \frac{1}{2} a \cdot t'_{уск} ^2 + v_{max} \cdot (18 - t'_{уск}) \)

По условию, «пробегая её в том же темпе, что и на дистанции в 100 метров». Это означает, что отношение пройденного расстояния к времени движения с постоянной скоростью равно, и время разгона такое же, если бы спринтер продолжил разгоняться.

Однако, формулировка «пробегая её в том же темпе» подразумевает, что средняя скорость на 200м могла быть равна средней скорости на 100м, но это не так, так как время другое. Вероятнее всего, имеется в виду, что доля пути, пройденного с ускорением, и доля пути, пройденного с постоянной скоростью, аналогичны, или что сам процесс разгона и дальнейшего движения происходит аналогично. Будем считать, что характер движения (соотношение времени разгона и времени движения с постоянной скоростью) сохраняется.

Пусть \( k = \frac{t_{уск}}{t} \) — доля времени разгона. Тогда \( t_{уск} = k \cdot t \) и \( v_{max} = a \cdot k \cdot t \).

Рассмотрим случай, когда время разгона и его начальное ускорение одинаковы для обеих дистанций.

Для \( S = 100 \) м и \( t = 10 \) с:

\( 100 = S_{уск} + S_{пост} = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 + v_{max} \cdot (10 - t_{уск}) \)

\( v_{max} = a \cdot t_{уск} \)

\( 100 = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 + a \cdot t_{уск} \cdot (10 - t_{уск}) = \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 + 10 a \cdot t_{уск} - a \cdot t_{уск}^2 = 10 a \cdot t_{уск} - \frac{1}{2} a \cdot t_{уск}^2 \)

\( 100 = 10 v_{max} - \frac{1}{2} \frac{v_{max}^2}{a} \) — это не работает, нужно выразить через \(v_{max}\) и \(t_{уск}\).

\( S_{уск} = \frac{v_{max}^2}{2a} \) и \( S_{пост} = v_{max} \cdot (t - t_{уск}) \).

Для 100 м:

\( 100 = \frac{v_{max}^2}{2a} + v_{max} (10 - \frac{v_{max}}{a}) = \frac{v_{max}^2}{2a} + 10 v_{max} - \frac{v_{max}^2}{a} = 10 v_{max} - \frac{v_{max}^2}{2a} \) (1)

Для 200 м:

\( 200 = \frac{v_{max}^2}{2a} + v_{max} (18 - \frac{v_{max}}{a}) = \frac{v_{max}^2}{2a} + 18 v_{max} - \frac{v_{max}^2}{a} \) (2)

Или, более просто, используя \( S_{уск} = \frac{1}{2} v_{max} t_{уск} \):

Для 100 м: \( 100 = \frac{1}{2} v_{max} t_{уск} + v_{max} (10 - t_{уск}) = \frac{1}{2} v_{max} t_{уск} + 10 v_{max} - v_{max} t_{уск} = 10 v_{max} - \frac{1}{2} v_{max} t_{уск} \) (1')

Для 200 м: \( 200 = \frac{1}{2} v_{max} t'_{уск} + v_{max} (18 - t'_{уск}) = \frac{1}{2} v_{max} t'_{уск} + 18 v_{max} - v_{max} t'_{уск} = 18 v_{max} - \frac{1}{2} v_{max} t'_{уск} \) (2')

По условию, «пробегая её в том же темпе, что и на дистанции в 100 метров». Это означает, что отношение пройденного пути к времени движения с постоянной скоростью может быть одинаковым, или соотношение времени разгона к общему времени одинаково.

Предположим, что время разгона \( t_{уск} \) одинаково для обеих дистанций, т.е. \( t_{уск} = t'_{уск} \).

Из (1'): \( 100 = 10 v_{max} - \frac{1}{2} v_{max} t_{уск} \) \( \rightarrow \) \( 200 = 20 v_{max} - v_{max} t_{уск} \)

Из (2'): \( 200 = 18 v_{max} - \frac{1}{2} v_{max} t'_{уск} \) \( \rightarrow \) \( 400 = 36 v_{max} - v_{max} t'_{уск} \)

Если \( t_{уск} = t'_{уск} \), то:

\( v_{max} t_{уск} = 20 v_{max} - 200 \)

\( v_{max} t_{уск} = 36 v_{max} - 400 \)

Приравниваем правые части:

\( 20 v_{max} - 200 = 36 v_{max} - 400 \)

\( 400 - 200 = 36 v_{max} - 20 v_{max} \)

\( 200 = 16 v_{max} \)

\( v_{max} = \frac{200}{16} = \frac{100}{8} = \frac{50}{4} = 12.5 \) м/с.

Теперь найдём \( t_{уск} \) из \( v_{max} t_{уск} = 20 v_{max} - 200 \):

\( 12.5 \cdot t_{уск} = 20 \cdot 12.5 - 200 \)

\( 12.5 \cdot t_{уск} = 250 - 200 \)

\( 12.5 \cdot t_{уск} = 50 \)

\( t_{уск} = \frac{50}{12.5} = \frac{500}{125} = 4 \) с.

Теперь найдём ускорение \( a \) из \( v_{max} = a \cdot t_{уск} \):

\( 12.5 = a \cdot 4 \)

\( a = \frac{12.5}{4} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8} = 3.125 \) м/с².

Проверка:

Дистанция 100 м:

\( t_{уск} = 4 \) с, \( v_{max} = 12.5 \) м/с, \( a = 3.125 \) м/с².

\( S_{уск} = \frac{1}{2} a t_{уск}^2 = \frac{1}{2} €\cdot 3.125 \cdot 4^2 = \frac{1}{2} €\cdot 3.125 \u0080\cdot 16 = 3.125 \u0080\cdot 8 = 25 \) м.

\( t_{пост} = 10 - 4 = 6 \) с.

\( S_{пост} = v_{max} t_{пост} = 12.5 \u0080\cdot 6 = 75 \) м.

\( S_{общ} = S_{уск} + S_{пост} = 25 + 75 = 100 \) м. (Верно)

Дистанция 200 м:

\( t'_{уск} = 4 \) с, \( v_{max} = 12.5 \) м/с, \( a = 3.125 \) м/с².

\( S'_{уск} = 25 \) м (так как \(t_{уск}\) и \(a\) те же).

\( t'_{пост} = 18 - 4 = 14 \) с.

\( S'_{пост} = v_{max} t'_{пост} = 12.5 \u0080\cdot 14 = 175 \) м.

\( S'_{общ} = S'_{уск} + S'_{пост} = 25 + 175 = 200 \) м. (Верно)

Итоговое решение:

Пусть \( t_у \) — время разгона, \( v_{max} \) — максимальная скорость, \( a \) — ускорение.

\( v_{max} = a t_у \)

\( S_{ускорения} = \frac{1}{2} a t_у^2 = \frac{1}{2} v_{max} t_у \)

\( S_{постоянной скорости} = v_{max} (t - t_у) \)

Для 100 м: \( 100 = \frac{1}{2} v_{max} t_у + v_{max} (10 - t_у) = 10 v_{max} - \frac{1}{2} v_{max} t_у \) \( \rightarrow \) \( 200 = 20 v_{max} - v_{max} t_у \) (1)

Для 200 м: \( 200 = \frac{1}{2} v_{max} t'_у + v_{max} (18 - t'_у) = 18 v_{max} - \frac{1}{2} v_{max} t'_у \) \( \rightarrow \) \( 400 = 36 v_{max} - v_{max} t'_у \) (2)

По условию, «пробегая её в том же темпе, что и на дистанции в 100 метров», означает, что время разгона \( t_у \) и ускорение \( a \) одинаковы.

Из (1): \( v_{max} t_у = 20 v_{max} - 200 \)

Из (2): \( v_{max} t'_у = 36 v_{max} - 400 \)

Принимая \( t_у = t'_у \):

\( 20 v_{max} - 200 = 36 v_{max} - 400 \)

\( 16 v_{max} = 200 \) \( \rightarrow \) \( v_{max} = \frac{200}{16} = 12.5 \) м/с.

Подставляем \( v_{max} = 12.5 \) м/с в \( v_{max} t_у = 20 v_{max} - 200 \):

\( 12.5 t_у = 20 \cdot 12.5 - 200 \)

\( 12.5 t_у = 250 - 200 = 50 \)

\( t_у = \frac{50}{12.5} = 4 \) с.

Теперь найдём ускорение \( a \) из \( v_{max} = a t_у \):

\( 12.5 = a \cdot 4 \)

\( a = \frac{12.5}{4} = 3.125 \) м/с².

Ответ: Максимальная скорость спринтера составляет 12.5 м/с, а его ускорение — 3.125 м/с².