1. sqrt(14 * 5^10 / 5^6) = 8 * 5^5 / 5^3 = 8 * 5^2 / 1 = 200

Решим пример по шагам:

Исходное выражение: $$sqrt{\frac{14 \cdot 5^{10}}{5^6}}$$

1. Упростим выражение под корнем, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Применим это свойство к степеням пятерки: $$\frac{5^{10}}{5^6} = 5^{10-6} = 5^4$$

Тогда выражение под корнем будет выглядеть так: $$\sqrt{14 \cdot 5^4}$$

2. Вычислим $$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$$.

3. Теперь выражение под корнем: $$\sqrt{14 \cdot 625} = \sqrt{8750}$$

4. Дальнейшее упрощение выражения $$\sqrt{8750}$$ невозможно без использования калькулятора или приближенных вычислений. Однако, представленное решение в примере (8 * 5^5 / 5^3 = 8 * 5^2 / 1 = 200) содержит ошибку и не соответствует исходному выражению.

Правильное решение выглядит так:

$$\sqrt{\frac{14\cdot5^{10}}{5^6}} = \sqrt{14 \cdot 5^4} = \sqrt{14 \cdot 625} = \sqrt{8750} = 5\sqrt{350} = 25\sqrt{14}$$

Выражение $$8 \cdot 5^5 / 5^3$$ упрощается до $$8 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$$, но оно не эквивалентно исходному.

Итоговый ответ: $$25\sqrt{14}$$