\(\sqrt{2}=\sqrt{1+x}-\sqrt{3+x}\)

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

\(1+x\ge 0\), поэтому \(x\ge -1\).

При всех таких значениях \(x\) выполняется \(1+x<3+x\), значит:

\(\sqrt{1+x}<\sqrt{3+x}\).

Следовательно, разность \(\sqrt{1+x}-\sqrt{3+x}\) отрицательна, а \(\sqrt{2}>0\). Равенство невозможно.

Ответ: решений нет.