$$\\sqrt{3+\\sqrt{3+\\\sqrt[3]{10+6\\sqrt{3}}}}-\\sqrt{3}$$

Решение:

Для решения данного выражения, сначала упростим кубический корень: \(\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}\).

Представим \(10+6\sqrt{3}\) в виде \((a+b\sqrt{3})^3\) или \((a+b)^3\).

Рассмотрим \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

Если \(a=1, b=\sqrt{3}\), то \((1+\sqrt{3})^3 = 1^3 + 3\cdot1^2\cdot\sqrt{3} + 3\cdot1\cdot(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 3\cdot3 + 3\sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3}\).

Таким образом, \(\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3}\).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \sqrt{3+\sqrt{3+(1+\sqrt{3})}}-\sqrt{3} \]

\[ = \sqrt{3+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}-\sqrt{3} \]

Упростим \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\) . Это корень вида \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\). Ищем два числа, сумма которых равна 4, а произведение равно 3. Это числа 3 и 1.

Значит, \(\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1\).

Подставим обратно:

\[ = \sqrt{3+(\sqrt{3}+1)}-\sqrt{3} \]

\[ = \sqrt{4+\sqrt{3}}-\sqrt{3} \]

Это выражение не упрощается дальше без использования приближенных значений.

Проверим условие задания. Возможно, был другой подход.

Перепроверим первое упрощение: \(\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3}\). Это верно.

Далее: \(\sqrt{3+\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})} = \sqrt{3+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}\) .

Здесь \(\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1\).

Тогда \(\sqrt{3+(\sqrt{3}+1)} = \sqrt{4+\sqrt{3}}\).

В исходном выражении стоит \( √{3 + √{3 + ³√{10 + 6√{3}}}} - √{3} \).

Рассмотрим \( ³√{10 + 6√{3}} = 1 + √{3} \).

Тогда \( √{3 + √{3} + (1 + √{3})} = √{3 + √{3} + 1 + √{3}} = √{4 + 2√{3}} \).

Как мы уже выяснили, \( √{4 + 2√{3}} = √{3} + 1 \).

Теперь выражение выглядит так: \( √{3} + (√{3} + 1) - √{3} \).

\[ = \sqrt{3} + √{3} + 1 - √{3} \]

\[ = \sqrt{3} + 1 \]

Ответ: $$1+\sqrt{3}$$.