С.р. Теорема о трех перпендикулярах вариант 1 1. Катет ВС прямоугольного треугольника ABC (∠ B = 90°) лежит в плоскости а. Из вершины А к плоскости а проведен перпендикуляр АО. Найдите ВС, если ОВ = 5 см, ОС = 13 см. 2. Из точки к плоскости треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см проведен перпендикуляр длиной 3 см, основание которого - вершина большего угла. Найдите расстояние от данной точки до большей стороны треугольника.

1. Дано: треугольник ABC - прямоугольный, угол B = 90 градусов, катет BC лежит в плоскости α, AO перпендикулярен плоскости α, OB = 5 см, OC = 13 см.

Найти: BC.

Решение:

• Т.к. AO перпендикулярен плоскости α, то AO перпендикулярен OB и OC.
• Рассмотрим треугольник AOB: он прямоугольный, т.к. AO перпендикулярен OB. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AO^2 + OB^2$$.
• Рассмотрим треугольник AOC: он прямоугольный, т.к. AO перпендикулярен OC. По теореме Пифагора: $$AC^2 = AO^2 + OC^2$$.
• Рассмотрим треугольник ABC: он прямоугольный, т.к. угол B = 90 градусов. По теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$.
• Подставим выражения для $$AB^2$$ и $$AC^2$$ из первого и второго прямоугольных треугольников в уравнение для треугольника ABC: $$AO^2 + OC^2 = AO^2 + OB^2 + BC^2$$.
• Сократим $$AO^2$$: $$OC^2 = OB^2 + BC^2$$.
• Выразим $$BC^2$$: $$BC^2 = OC^2 - OB^2$$.
• Подставим значения OB и OC: $$BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$.
• Найдем BC: $$BC = \sqrt{144} = 12$$ см.

Ответ: 12 см

2. Дано: треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см, перпендикуляр длиной 3 см, основание которого - вершина большего угла.

Найти: расстояние от данной точки до большей стороны треугольника.

Решение:

• Треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см является равнобедренным. Большая сторона - 6 см.
• Т.к. стороны треугольника 5, 5 и 6, то угол, лежащий против стороны 6 см, является наибольшим.
• Пусть данный треугольник ABC, где AB = AC = 5 см, BC = 6 см. Перпендикуляр проведен из вершины A длиной AD = 3 см.
• Найти расстояние от точки D до стороны BC. Пусть DE - искомое расстояние, где DE перпендикулярно BC.
• Сначала найдем высоту AE треугольника ABC, проведенную к стороне BC. Т.к. треугольник равнобедренный, AE является также медианой. Тогда BE = EC = BC/2 = 6/2 = 3 см.
• Рассмотрим треугольник ABE: он прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$. Тогда AE = √16 = 4 см.
• Т.к. AD перпендикулярно плоскости ABC, то AD перпендикулярно AE. Рассмотрим треугольник ADE: он прямоугольный, т.к. AD перпендикулярно AE.
• DE перпендикулярно BC по теореме о трех перпендикулярах.
• По теореме Пифагора: $$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$. Тогда DE = √25 = 5 см.

Ответ: 5 см