СР-76. Закон Кулона ВАРИАНТ № 1 1. Два точечных заряда действуют друг на друга с силой 16 Н. Какой будет сила взаимодействия между ними, если уменьшить значение каждого заряда в 2 раза, не меняя расстояния между ними? 2. Как нужно изменить расстояние между двумя точечными заряда- ми, чтобы сила взаимодействия между ними увеличилась в 16 раз? 3. Диэлектрическая проницаемость воды равна 81. Как нужно из- менить расстояние между двумя точечными зарядами, чтобы при погружении их в воду сила взаимодействия между ними была такой же, как первоначально в вакууме? ВАРИАНТ № 2 1. С какой силой взаимодействуют два маленьких заряженных ша- рика, находящиеся в вакууме на расстоянии 9 см друг от друга? Заряд каждого шарика равен 310-6 Кл. 2. Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2. Как нужно изменить расстояние между двумя точечными зарядами, чтобы при погружении их в керосин сила взаимодействия между ними была такой же, как первоначально в вакууме? 3. Два пробковых противоположно заряженных шарика привязаны на нитях ко дну и к перекладине в верхней части аквариума, заполненного маслом (см. рис.). Диаметр шариков 2 мм, длина нитей 40 см, расстояние между центрами шариков 10 см. Считая нити невесомыми, найдите натяжение верхней нити. Плотность пробки 130 кг/м³, плотность масла 800 кг/м³, его диэлектрическая проницае- мость равна 6, модуль заряда шариков 310-8 Кл. Ответ выразите в миллиньютонах и округлите до сотых.

ВАРИАНТ № 1

1. Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона: \[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]

Если уменьшить значение каждого заряда в 2 раза, то новые заряды будут \[q_1' = \frac{q_1}{2}\] и \[q_2' = \frac{q_2}{2}\]

Новая сила взаимодействия будет:\[F' = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|\frac{q_1}{2} \frac{q_2}{2}|}{r^2} = \frac{1}{4} k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4} F\]

Так как исходная сила равна 16 Н, то новая сила будет:\[F' = \frac{1}{4} \cdot 16 \text{ Н} = 4 \text{ Н}\]

Ответ: 4 Н

2. Чтобы сила взаимодействия увеличилась в 16 раз, нужно изменить расстояние между зарядами. Пусть новое расстояние будет \[r'\]

Тогда новая сила будет:\[F' = k \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2}\]

Чтобы \[F' = 16F\]:\[16F = k \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2}\]

Подставим исходную силу \[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]:\[16 k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2}\]

Сокращаем и получаем:\[16 \frac{1}{r^2} = \frac{1}{(r')^2}\]

Отсюда:\[(r')^2 = \frac{r^2}{16}\]

Извлекаем квадратный корень:\[r' = \frac{r}{4}\]

Ответ: Расстояние нужно уменьшить в 4 раза.

3. Диэлектрическая проницаемость воды равна 81. Сила взаимодействия в среде с диэлектрической проницаемостью \[\varepsilon\] равна:\[F' = \frac{F}{\varepsilon}\]

Чтобы сила взаимодействия в воде была такой же, как в вакууме, необходимо изменить расстояние между зарядами. Новая сила в воде:\[F' = \frac{k}{\varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2}\]

Чтобы \[F' = F\]:\[\frac{k}{\varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]

Сокращаем и получаем:\[\frac{1}{\varepsilon (r')^2} = \frac{1}{r^2}\]

Тогда:\[(r')^2 = \frac{r^2}{\varepsilon}\]

Извлекаем квадратный корень:\[r' = \frac{r}{\sqrt{\varepsilon}}\]

Так как \[\varepsilon = 81\]:\[r' = \frac{r}{\sqrt{81}} = \frac{r}{9}\]

Ответ: Расстояние нужно уменьшить в 9 раз.

ВАРИАНТ № 2

1. Сила взаимодействия между двумя маленькими заряженными шариками в вакууме определяется законом Кулона:\[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]

Где \[k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}\] (электрическая постоянная), \[q_1 = q_2 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}\] (заряд каждого шарика), \[r = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}\] (расстояние между шариками).

Подставляем значения:\[F = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{(3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})^2}{(0.09 \text{ м})^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{9 \cdot 10^{-12}}{0.0081} \text{ Н} = \frac{81 \cdot 10^{-3}}{0.0081} \text{ Н} = 10 \text{ Н}\]

Ответ: 10 Н

2. Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2. Чтобы сила взаимодействия в керосине была такой же, как первоначально в вакууме, необходимо изменить расстояние между зарядами.

Сила взаимодействия в среде с диэлектрической проницаемостью \[\varepsilon\] равна:\[F' = \frac{F}{\varepsilon}\]

Новая сила в керосине:\[F' = \frac{k}{\varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2}\]

Чтобы \[F' = F\]:\[\frac{k}{\varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]

Сокращаем и получаем:\[\frac{1}{\varepsilon (r')^2} = \frac{1}{r^2}\]

Тогда:\[(r')^2 = \frac{r^2}{\varepsilon}\]

Извлекаем квадратный корень:\[r' = \frac{r}{\sqrt{\varepsilon}}\]

Так как \[\varepsilon = 2\]:\[r' = \frac{r}{\sqrt{2}}\]

Ответ: Расстояние нужно уменьшить в \[\sqrt{2}\] раз.

3. Два пробковых противоположно заряженных шарика привязаны на нитях ко дну и к перекладине в верхней части аквариума, заполненного маслом.

Дано:\[d = 2 \text{ мм} = 0.002 \text{ м}\] (диаметр шариков), \[l = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}\] (длина нитей), \[r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}\] (расстояние между центрами шариков), \[\rho_{\text{пробки}} = 130 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\] (плотность пробки), \[\rho_{\text{масла}} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\] (плотность масла), \[\varepsilon = 6\] (диэлектрическая проницаемость масла), \[q = 3 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}\] (модуль заряда шариков).

Найти: Натяжение верхней нити \[T\] в миллиньютонах.

Сила Кулона:\[F_\text{К} = k \frac{q^2}{\varepsilon r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{(3 \cdot 10^{-8})^2}{6 \cdot (0.1)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{9 \cdot 10^{-16}}{6 \cdot 0.01} = \frac{81 \cdot 10^{-7}}{0.06} = 1.35 \cdot 10^{-4} \text{ Н}\]

Объем шарика:\[V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (0.001)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 10^{-9} \text{ м}^3\]

Сила Архимеда:\[F_\text{А} = \rho_{\text{масла}} V g = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 10^{-9} \text{ м}^3 \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = \frac{3200 \cdot 9.8}{3} \pi \cdot 10^{-9} = \frac{31360}{3} \pi \cdot 10^{-9} \approx 3.28 \cdot 10^{-5} \text{ Н}\]

Сила тяжести:\[P = \rho_{\text{пробки}} V g = 130 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 10^{-9} \text{ м}^3 \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = \frac{520 \cdot 9.8}{3} \pi \cdot 10^{-9} = \frac{5096}{3} \pi \cdot 10^{-9} \approx 5.33 \cdot 10^{-6} \text{ Н}\]

Натяжение верхней нити:\[T = F_\text{А} - P - F_\text{К} = 3.28 \cdot 10^{-5} - 5.33 \cdot 10^{-6} - 1.35 \cdot 10^{-4} = (3.28 - 0.533 - 13.5) \cdot 10^{-5} = -10.753 \cdot 10^{-5} \text{ Н} = -107.53 \cdot 10^{-6} \text{ Н}\]

Так как нас интересует только модуль натяжения, берем абсолютное значение:\[|T| = 107.53 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 0.10753 \text{ мН}\]

Округляем до сотых: \[|T| \approx 0.11 \text{ мН}\]

Ответ: 0.11 мН