Сравнить числа 1 вариант: 6√25 и ⁴√10

Решение:

Чтобы сравнить корни, приведём их к одному показателю степени. Наименьшее общее кратное для показателей 6 и 4 равно 12.

1. Преобразуем первый корень: \( \sqrt[6]{25} = \sqrt[6]{5^2} \). Умножим показатель степени корня и степень подкоренного выражения на 2: \[ \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6 \cdot 2]{5^{2 \cdot 2}} = \sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625} \].
2. Преобразуем второй корень: \( \sqrt[4]{10} \). Умножим показатель степени корня и степень подкоренного выражения на 3: \[ \sqrt[4]{10} = \sqrt[4 \cdot 3]{10^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000} \].
3. Сравним полученные числа под корнем 12-й степени: \( 625 < 1000 \).
4. Следовательно, \( \sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{1000} \).

Ответ: \( \sqrt[6]{25} < \sqrt[4]{10} \).