Сравнить значения выражений: 1) 3,1⁷ и 4,3⁷; 2) (10/11)³ и (12/11)³; 3) 0,3⁸ и 0,2⁸; 4) 2,5² и 2,6²; 5) (7/9)⁻² и (8/10)⁻²; 6) (14/15)⁻⁶ и (15/16)⁻⁶; 7) (4√3)⁻³ и (3√4)⁻³; 8) (2∛6)⁻⁵ и (6∛2)⁻⁵.

При возведении положительных чисел в одинаковую натуральную степень большему основанию соответствует большее значение. Так как 3,1 < 4,3, то 3,1⁷ < 4,3⁷.

Поскольку 10/11 < 12/11 и кубирование сохраняет порядок положительных чисел, (10/11)³ < (12/11)³.

Так как 0 < 0,2 < 0,3 < 1, при возведении в восьмую степень порядок сохраняется. Следовательно, 0,3⁸ > 0,2⁸.

Так как 0 < 2,5 < 2,6, при возведении в квадрат порядок сохраняется: 2,5² < 2,6².

Отрицательная степень означает обратную степень: \(a^{-2}=1/a^2\). Поскольку 0 < 7/9 < 8/10, после возведения в квадрат и перехода к обратным величинам неравенство меняет направление: (7/9)⁻² > (8/10)⁻².

Имеем 14/15 < 15/16, поэтому \((14/15)^6 < (15/16)^6\). Переход к обратным величинам меняет знак сравнения: (14/15)⁻⁶ > (15/16)⁻⁶.

Основания положительны, поэтому при одинаковой отрицательной степени порядок оснований меняется на противоположный. Сравним основания: \(4\sqrt3>3\sqrt4\), так как \((4\sqrt3)^2=48\), а \((3\sqrt4)^2=36\). Значит, (4√3)⁻³ < (3√4)⁻³.

Сравним положительные основания: \((2\sqrt[3]{6})^3=48\), а \((6\sqrt[3]{2})^3=432\), значит, \(2\sqrt[3]{6}<6\sqrt[3]{2}\). При возведении в одинаковую отрицательную степень порядок меняется, поэтому (2∛6)⁻⁵ > (6∛2)⁻⁵.