7. Сравните \(\frac{15^{-4} \cdot 25^{4}}{27^{-1} \cdot 75}\) и 2,5

Для решения задания необходимо упростить выражение \(\frac{15^{-4} \cdot 25^{4}}{27^{-1} \cdot 75}\) и сравнить полученный результат с числом 2,5.

1. Упростим выражение:

• Представим числа в виде произведения простых множителей:

$$15 = 3 \cdot 5$$ $$25 = 5^2$$ $$27 = 3^3$$ $$75 = 3 \cdot 5^2$$

• Подставим полученные выражения в исходное выражение:

$$\frac{15^{-4} \cdot 25^{4}}{27^{-1} \cdot 75} = \frac{(3 \cdot 5)^{-4} \cdot (5^2)^{4}}{(3^3)^{-1} \cdot (3 \cdot 5^2)}$$

• Воспользуемся свойствами степеней: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) и \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

$$\frac{3^{-4} \cdot 5^{-4} \cdot 5^{8}}{3^{-3} \cdot 3 \cdot 5^2} = \frac{3^{-4} \cdot 5^{4}}{3^{-2} \cdot 5^2}$$

• Воспользуемся свойством деления степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

$$3^{-4 - (-2)} \cdot 5^{4 - 2} = 3^{-2} \cdot 5^{2} = \frac{1}{3^2} \cdot 5^2 = \frac{1}{9} \cdot 25 = \frac{25}{9}$$

• Представим полученную дробь в виде десятичной:

$$\frac{25}{9} = 2,(7) \approx 2,78$$

2. Сравним полученное значение с 2,5:

2,78 > 2,5

Таким образом, \(\frac{15^{-4} \cdot 25^{4}}{27^{-1} \cdot 75}\) больше 2,5.

Ответ: \(\frac{15^{-4} \cdot 25^{4}}{27^{-1} \cdot 75} > 2,5\)