Сравните числа: \(\sqrt{13} - \sqrt{21}\) и \(\sqrt{14} - \sqrt{22}\)

Решение:

Сравним два выражения \( \sqrt{13} - \sqrt{21} \) и \( \sqrt{14} - \sqrt{22} \).

Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x} \). Эта функция возрастающая.

Сравним квадраты выражений, но это не всегда удобно.

Перенесём корни так, чтобы получить выражения с одинаковым знаком:

Сравним \( \sqrt{14} - \sqrt{13} \) и \( \sqrt{22} - \sqrt{21} \).

Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \).

Чтобы понять, как эта функция меняется, найдём её производную.

\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Поскольку \( \sqrt{x+1} > \sqrt{x} \) для \( x > 0 \), то \( \frac{1}{2\sqrt{x+1}} < \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Следовательно, \( f'(x) < 0 \).

Это означает, что функция \( f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \) убывает.

Значит, при увеличении \( x \), значение \( \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \) уменьшается.

Следовательно, \( \sqrt{14} - \sqrt{13} < \sqrt{22} - \sqrt{21} \).

Вернёмся к исходному сравнению. Мы сравнивали \( \sqrt{13} - \sqrt{21} \) и \( \sqrt{14} - \sqrt{22} \).

Перепишем как \( -(\sqrt{21} - \sqrt{13}) \) и \( -(\sqrt{22} - \sqrt{14}) \).

Разность \( \sqrt{21} - \sqrt{13} \) соответствует \( \sqrt{x+8} - \sqrt{x} \) при \( x=13 \).

Разность \( \sqrt{22} - \sqrt{14} \) соответствует \( \sqrt{x+8} - \sqrt{x} \) при \( x=14 \).

Функция \( g(x) = \sqrt{x+8} - \sqrt{x} \) также убывает, так как \( g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+8}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} < 0 \).

Значит, \( \sqrt{21} - \sqrt{13} > \sqrt{22} - \sqrt{14} \).

Умножив на \( -1 \), получим:

\( -(\sqrt{21} - \sqrt{13}) < -(\sqrt{22} - \sqrt{14}) \)

\( \sqrt{13} - \sqrt{21} < \sqrt{14} - \sqrt{22} \).

Ответ: \( \sqrt{13} - \sqrt{21} < \sqrt{14} - \sqrt{22} \).