5. Сравните значения функции у = √x при x = \frac{6}{√7+1} их = 8 - 2√7.

Ответ: Значение функции при x = \(\frac{6}{\sqrt{7}+1}\) больше, чем при x = \(8 - 2\sqrt{7}\)

Решение:

1. Упростим первое значение x: \[x_1 = \frac{6}{\sqrt{7}+1} = \frac{6(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} = \frac{6(\sqrt{7}-1)}{7-1} = \frac{6(\sqrt{7}-1)}{6} = \sqrt{7}-1\]
2. Упростим второе значение x: \[x_2 = 8 - 2\sqrt{7}\]
3. Сравним x₁ и x₂:
   • Рассмотрим разность x₂ - x₁: \[x_2 - x_1 = (8 - 2\sqrt{7}) - (\sqrt{7} - 1) = 8 - 2\sqrt{7} - \sqrt{7} + 1 = 9 - 3\sqrt{7}\]
   • Вынесем 3 за скобки: \[9 - 3\sqrt{7} = 3(3 - \sqrt{7})\]
   • Так как \(3 = \sqrt{9}\) и \(\sqrt{9} > \sqrt{7}\), то \(3 - \sqrt{7} > 0\), а значит, и \(x_2 - x_1 > 0\). Следовательно, \(x_2 > x_1\).
4. Сравним значения функции:
   • Поскольку функция \(y = \sqrt{x}\) возрастает при \(x > 0\), то большему значению x соответствует большее значение y.
   • Так как \(x_2 > x_1\), то \(\sqrt{x_2} > \sqrt{x_1}\).

Ответ: Значение функции при x = \(\frac{6}{\sqrt{7}+1}\) больше, чем при x = \(8 - 2\sqrt{7}\)