Среди данных пар векторов укажите те, которые являются коллинеарными.

Коллинеарные векторы - это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Чтобы векторы были коллинеарными, их координаты должны быть пропорциональны.

1. Проверим первую пару векторов: $$ \vec{p} \{\frac{1}{3}; -1; 5\} $$, $$ \vec{q} \{-1; -3; -15\} $$.

   Проверим пропорциональность координат: $$ \frac{\frac{1}{3}}{-1} = \frac{-1}{-3} = \frac{5}{-15} $$.

   $$ -\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} $$ – не выполняется пропорциональность, следовательно, векторы не коллинеарны.

2. Проверим вторую пару векторов: $$ \vec{m} \{0; 0; 0\} $$, $$ \vec{n} \{5; 7; -3\} $$.

   Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

3. Проверим третью пару векторов: $$ \vec{c} \{1; -1; 3\} $$, $$ \vec{d} \{2; 3; 15\} $$.

   Проверим пропорциональность координат: $$ \frac{1}{2} = \frac{-1}{3} = \frac{3}{15} $$.

   $$ \frac{1}{2} = -\frac{1}{3} = \frac{1}{5} $$ – не выполняется пропорциональность, следовательно, векторы не коллинеарны.

4. Проверим четвертую пару векторов: $$ \vec{a} \{3; 6; 8\} $$, $$ \vec{b} \{6; 12; 16\} $$.

   Проверим пропорциональность координат: $$ \frac{3}{6} = \frac{6}{12} = \frac{8}{16} $$.

   $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ – выполняется пропорциональность, следовательно, векторы коллинеарны.

5. Проверим пятую пару векторов: $$ \vec{i} \{1; 0; 0\} $$, $$ \vec{j} \{0; 1; 0\} $$.

   Проверим пропорциональность координат: $$ \frac{1}{0} = \frac{0}{1} = \frac{0}{0} $$.

   На ноль делить нельзя, следовательно, векторы не коллинеарны.

Ответ: Векторы $$\vec{m} \{0; 0; 0\}$$ и $$\vec{n} \{5; 7; -3\}$$ коллинеарны, векторы $$\vec{a} \{3; 6; 8\}$$ и $$\vec{b} \{6; 12; 16\}$$ коллинеарны.