Среднее значение функции f(x) = sin x на отрезке [0; π/3] равно ...

Решение:

Чтобы найти среднее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \), используется формула:

\[ f_{ср} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( f(x) = \sin x \), \( a = 0 \), \( b = \frac{\pi}{3} \).

1. Подставим значения в формулу:

\[ f_{ср} = \frac{1}{\frac{\pi}{3} - 0} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx \]

\[ f_{ср} = \frac{3}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx \]

2. Вычислим интеграл от \( \sin x \):

\[ \int \sin x dx = -\cos x + C \]

3. Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos \frac{\pi}{3}) - (-\cos 0) \]

\[ = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \]

4. Подставим результат интеграла обратно в формулу для среднего значения:

\[ f_{ср} = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2\pi} \]

Ответ: \( \frac{3}{2\pi} \)