Среднее значение функции f(x) = sin x на отрезке [0; \(\frac{\pi}{3}\)] равно ...

Решение:

Чтобы найти среднее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \), используется формула:

\[ f_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( f(x) = \sin x \), \( a = 0 \) и \( b = \frac{\pi}{3} \).

1. Рассчитаем знаменатель \( b - a \):

\[ b - a = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3} \]

2. Вычислим определённый интеграл от \( \sin x \) на отрезке \( [0, \frac{\pi}{3}] \):

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \]

3. Подставим полученные значения в формулу среднего значения функции:

\[ f_{avg} = \frac{1}{\frac{\pi}{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2\pi} \]

Ответ: \( \frac{3}{2\pi} \)