489 Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Свойство средней линии трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC – основания, а M и N – середины боковых сторон AB и CD соответственно. Требуется доказать, что MN || AD || BC и MN = (AD + BC) / 2.

1) Проведем прямую через точку B параллельно стороне CD. Пусть эта прямая пересекает AD в точке E и MN в точке F.

2) Рассмотрим треугольник ABE. Так как M – середина AB, а MF || AE, то по теореме Фалеса F – середина BE.

3) Теперь рассмотрим параллелограмм BCDE. Так как N – середина CD, а F – середина BE, то MN является средней линией параллелограмма BCDE. Следовательно, MN || BC || DE и MN = (BC + DE) / 2.

4) Так как AE = AD - DE = AD - BC, то MN = (AD + BC) / 2.

5) Таким образом, средняя линия MN параллельна основаниям AD и BC, и её длина равна полусумме длин оснований.

Ответ: Свойство средней линии трапеции доказано.