484 / Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны,

Question

Вопрос:

Фото задания: 484 / Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии…

484 / Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны,

Accepted Answer

Краткое пояснение: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Нужно доказать, что она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, где M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC.
Докажем, что MN || BC и MN = 1/2 BC.
Рассмотрим треугольники AMN и ABC. Угол A — общий. AM/AB = AN/AC = 1/2 (так как M и N — середины сторон).
Следовательно, треугольники AMN и ABC подобны по двум сторонам и углу между ними.
Из подобия треугольников следует, что угол AMN = углу ABC, а угол ANM = углу ACB. Эти углы соответственные при прямых MN и BC и секущих AB и AC. Значит, MN || BC.
Также из подобия треугольников следует, что MN/BC = AM/AB = 1/2. Следовательно, MN = 1/2 BC.

Ответ: Доказано, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.