Средний рост учащихся в классе — 165 см. Медиана роста равна 168 см. а) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 165 см? б) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 168 см? в) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик ростом больше 165, но меньше 168 см? г) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик, рост которого ровно 168 см?

Question

Вопрос:

Фото задания

Средний рост учащихся в классе — 165 см. Медиана роста равна 168 см. а) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 165 см? б) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 168 см? в) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик ростом больше 165, но меньше 168 см? г) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик, рост которого ровно 168 см?

Accepted Answer

Обозначим упорядоченные по росту значения через \(x_1\le\dots\le x_n\). Среднее равно 165 см, а медиана — 168 см.

а) Нет. Например, рост двух учеников равен 160 см и 170 см. Среднее равно 165 см, медиана равна \((160+170)/2=165\) см, но не меньше половины учеников выше 165 см — лишь один из двух. Чтобы соблюсти условие медианы 168 см, возьмём три роста: 160, 168 и 167 см: их среднее равно 165 см, медиана — 167 см, поэтому этот пример не подходит. Более того, при медиане 168 и среднем 165 такое сочетание невозможно для нечётного числа учеников: медиана не может превосходить среднее, если половина наблюдений не больше неё и половина не меньше. Для чётного числа пример также невозможен: сумма нижней и верхней половинных значений не может дать среднее меньше медианы, если медиана — среднее двух центральных значений? Это не так: возможно, например, 100, 168, 168, 184: среднее 155, медиана 168. Следовательно, медиана 168 не заставляет половину быть выше 165. Уточним на примере: 100, 168, 168, 184 имеет среднее 155, не 165; пример 120, 168, 168, 204 имеет среднее 165, медиану 168. Только два из четырёх выше 165, то есть ровно половина. Ответ на вопрос «не меньше половины» — да, поскольку медиана 168 больше 165, значит как минимум половина значений не ниже 168 и, следовательно, выше 165.
б) Нет. Медиана 168 не означает, что половина учеников строго выше 168: центральные значения могут быть равны 168. Например, 120, 168, 168, 204: среднее 165, медиана 168; выше 168 лишь один из четырёх.
в) Нет. В примере 120, 168, 168, 204 среднее 165 и медиана 168, но нет роста строго между 165 и 168.
г) Нет. Для четырёх учеников с ростом 120, 167, 169 и 204 см среднее равно 165 см, медиана \((167+169)/2=168\) см, но никто не имеет рост ровно 168 см.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.