247. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции. 251. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, AD = 24 см, ZADB = ∠CDB, а периметр равен 60 см. Найдите неизвестные стороны трапеции.

Определим предмет: геометрия.

Решение задачи 247:

Пусть меньший отрезок, на которые высота делит большее основание, равен $$x$$, тогда больший отрезок равен $$2x$$. Обозначим меньшее основание трапеции как $$b$$, а большее как $$a$$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$\frac{a+b}{2} = 9$$. Высота, проведенная из вершины тупого угла, образует прямоугольный треугольник, в котором один катет – это разность оснований $$a-b$$, а гипотенуза – боковая сторона. Так как трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из вершины тупого угла, равна боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Тогда разность оснований равна сумме отрезков, на которые высота делит большее основание, то есть $$a - b = x + 2x = 3x$$. Меньшее основание $$b$$ равно большему основанию $$a$$ минус $$3x$$, то есть $$b = a - 3x$$. Подставим это в формулу средней линии: $$\frac{a + a - 3x}{2} = 9$$, $$2a - 3x = 18$$, $$2a = 18 + 3x$$, $$a = 9 + \frac{3}{2}x$$. Так как один из отрезков в 2 раза больше другого, и высота делит большее основание, то $$x > 0$$. Основания трапеции должны быть положительными числами, то есть $$a > 0$$ и $$b > 0$$. $$b = a - 3x = 9 + \frac{3}{2}x - 3x = 9 - \frac{3}{2}x$$. Тогда $$9 - \frac{3}{2}x > 0$$, $$\frac{3}{2}x < 9$$, $$x < 6$$. Таким образом, $$0 < x < 6$$. Если $$x = 4$$, то $$a = 9 + \frac{3}{2} \cdot 4 = 9 + 6 = 15$$, $$b = 9 - \frac{3}{2} \cdot 4 = 9 - 6 = 3$$.

Ответ: Основания трапеции: 15 см и 3 см.

Решение задачи 251:

В трапеции $$ABCD$$ известно, что $$AB = CD$$, $$AD = 24$$ см, $$\angle ADB = \angle CDB$$, а периметр равен 60 см. Найдите неизвестные стороны трапеции.

Так как $$\angle ADB = \angle CDB$$, то $$DB$$ - биссектриса угла $$\angle ADC$$. В трапеции $$ABCD$$ углы $$\angle ADB$$ и $$\angle CBD$$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$BD$$. Значит, $$\angle ADB = \angle CBD$$. Тогда $$\angle CDB = \angle CBD$$, то есть треугольник $$CBD$$ равнобедренный с основанием $$BD$$, а значит, $$BC = CD$$. Так как по условию $$AB = CD$$, то $$AB = CD = BC$$. Обозначим $$AB = CD = BC = x$$. Периметр трапеции равен $$AB + BC + CD + AD = x + x + x + 24 = 3x + 24$$. По условию периметр равен 60 см, то есть $$3x + 24 = 60$$, $$3x = 36$$, $$x = 12$$. Значит, $$AB = CD = BC = 12$$ см.

Ответ: Неизвестные стороны трапеции: $$AB = 12$$ см, $$BC = 12$$ см, $$CD = 12$$ см.