Средняя линия трапеции равна 14 см, а периметр 56 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность

Решение:

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо, чтобы сумма длин оснований трапеции была равна сумме длин её боковых сторон. Другими словами, для трапеции ABCD с основаниями AB и CD и боковыми сторонами BC и AD должно выполняться условие: \( AB + CD = BC + AD \).

Средняя линия трапеции (m) находится по формуле: \( m = \frac{AB + CD}{2} \). По условию, средняя линия равна 14 см.

Следовательно, сумма оснований: \( AB + CD = 2 @ m = 2 @ 14 @ \text{ см} = 28 @ \text{ см} \).

Периметр трапеции (P) равен сумме длин всех её сторон: \( P = AB + CD + BC + AD \). По условию, периметр равен 56 см.

Подставим значение суммы оснований в формулу периметра: \( 56 @ \text{ см} = 28 @ \text{ см} + BC + AD \).

Отсюда найдём сумму длин боковых сторон: \( BC + AD = 56 @ \text{ см} - 28 @ \text{ см} = 28 @ \text{ см} \).

Мы получили, что сумма оснований \( AB + CD = 28 @ \text{ см} \) и сумма боковых сторон \( BC + AD = 28 @ \text{ см} \).

Так как \( AB + CD = BC + AD \) (28 см = 28 см), то условие вписывания окружности в трапецию выполняется.

Вывод: В данную трапецию можно вписать окружность.