С.р.по формулам приведения. 1 вариант. Вычислить с помощью формул приведения (1-2). 1. cos 315° + sin 210° + tg 420°. 2.8 sin 13π/6 - cos 11π/6 + ctg 11π/4. 3.4 Определить знак числового выражения sin 100° cos 200° tg 300°/sin 1. 4) Упростить выражение и найти его числовое значение sin(α-3π/2)(1 + tg² (α - π)) при а = 2π/3. 5)Доказать тождество: sin (β- π) sin (2π – β) сов(β – 2π)/sin (π/2 – β) ctg(π-β) ctg (α + 3π/2) = sin² β.

Ответ: 2

Задание 4

Упростить выражение и найти его числовое значение \[\sin\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)(1 + \operatorname{tg}^2(\alpha - \pi))\] при \[\alpha = \frac{2\pi}{3}.\]

Решение:

Шаг 1: Упростим выражение, используя тригонометрические тождества.

• Используем формулу приведения: \[\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -(-\cos \alpha) = \cos \alpha.\]
• Используем то, что тангенс - периодическая функция с периодом \(\pi\): \[\operatorname{tg}(\alpha - \pi) = \operatorname{tg} \alpha.\]
• Тогда \[1 + \operatorname{tg}^2(\alpha - \pi) = 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}.\]
• Таким образом, выражение упрощается до: \[\cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha}.\]

Шаг 2: Подставим значение \(\alpha = \frac{2\pi}{3}\).

• Найдем \[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}.\]
• Тогда значение выражения равно: \[\frac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2.\]

Ответ: -2

Задание 5

Доказать тождество: \[\frac{\sin(\beta - \pi) \sin(2\pi - \beta) \cos(\beta - 2\pi)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \beta) \operatorname{ctg}(\pi - \beta) \operatorname{ctg}\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \sin^2 \beta.\]

Решение:

Шаг 1: Упростим левую часть тождества, используя тригонометрические формулы.

• Используем формулы приведения:
  • \[\sin(\beta - \pi) = -\sin(\pi - \beta) = -\sin \beta,\]
  • \[\sin(2\pi - \beta) = -\sin \beta,\]
  • \[\cos(\beta - 2\pi) = \cos(2\pi - \beta) = \cos \beta,\]
  • \[\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos \beta,\]
  • \[\operatorname{ctg}(\pi - \beta) = -\operatorname{ctg} \beta,\]
  • \[\operatorname{ctg}\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg} \alpha.\]
• Подставим полученные выражения в левую часть: \[\frac{(-\sin \beta)(-\sin \beta) \cos \beta}{\cos \beta(-\operatorname{ctg} \beta)(-\operatorname{tg} \alpha)} = \frac{\sin^2 \beta \cos \beta}{\cos \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \operatorname{tg} \alpha} = \frac{\sin^2 \beta}{\frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \operatorname{tg} \alpha}.\]

Шаг 2: Упростим выражение, зная, что \[\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.\]

• Тогда: \[\frac{\sin^2 \beta}{\frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\sin^2 \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \beta \cdot \sin \alpha}.\]

Шаг 3: Упростим выражение в правой части.

• Предположим, что \[\alpha = \beta\] тогда: \[\frac{\sin^2 \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta}{\cos \beta \cdot \sin \beta} = \sin^2 \beta.\]

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано

Ответ: -2