Стальной стержень (модуль Юнга E=2·10⁴ кН/см²) находится под действием внешних осевых сил P и 2P (рис. 1). Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ. Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) σ⁷ = 24 кН/см², а допускаемый коэффициент запаса [n] = 1.5. Найти удлинение стержня Δl.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо знать длину стержня и его площадь поперечного сечения. Так как эти данные не предоставлены, мы будем решать задачу в общем виде, используя переменные для длины (L) и площади (A). Предполагаем, что стержень состоит из двух участков разной длины, на которые действуют разные нагрузки, или что силы P и 2P приложены в разных точках.

1. Построение эпюр продольных сил N:

Предположим, что стержень состоит из двух участков:

• Участок 1: действует сила P.
• Участок 2: действует сила 2P.

В зависимости от места приложения сил P и 2P, продольные силы на каждом участке будут иметь разное значение. Без схемы (рис. 1) и длины стержня точное построение невозможно. В общем случае:

• На участке, где действует сила P, продольная сила N = P.
• На участке, где действует сила 2P, продольная сила N = 2P.

(Для точного построения эпюр необходима схема стержня с указанием точек приложения сил и размеров.)

2. Построение эпюр нормальных напряжений σ:

Нормальное напряжение определяется по формуле: \( \sigma = \frac{N}{A} \), где \( N \) — продольная сила, \( A \) — площадь поперечного сечения.

• На участке с силой P: \( \sigma_1 = \frac{P}{A} \).
• На участке с силой 2P: \( \sigma_2 = \frac{2P}{A} \).

Максимальное напряжение будет там, где максимальная продольная сила.

3. Оценка прочности стержня:

Предельное напряжение (предел текучести) \( \sigma_T = 24 \) кН/см².

Допускаемый коэффициент запаса \( [n] = 1.5 \).

Допускаемое напряжение \( \sigma_{доп} = \frac{\sigma_T}{[n]} = \frac{24}{1.5} = 16 \) кН/см².

Для оценки прочности необходимо сравнить максимальное рабочее напряжение \( \sigma_{max} \) с допускаемым напряжением \( \sigma_{доп} \).

Если \( \sigma_{max} \le \sigma_{доп} \), то стержень прочен.

В нашем случае, \( \sigma_{max} = \sigma_2 = \frac{2P}{A} \). Требуется сравнить \( \frac{2P}{A} \) с \( 16 \) кН/см².

(Для окончательной оценки прочности необходимо знать значение P и A.)

4. Нахождение удлинения стержня Δl:

Удлинение стержня определяется по формуле: \( \Delta l = \frac{N \cdot L}{E \cdot A} \), где \( L \) — длина участка.

Если стержень состоит из двух участков с длинами \( L_1 \) и \( L_2 \) соответственно:

• Удлинение первого участка: \( \Delta l_1 = \frac{P \cdot L_1}{E \cdot A} \).
• Удлинение второго участка: \( \Delta l_2 = \frac{2P \cdot L_2}{E \cdot A} \).

Общее удлинение: \( \Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = \frac{P \cdot L_1}{E \cdot A} + \frac{2P \cdot L_2}{E \cdot A} \).

Подставляем \( E = 2 \cdot 10^4 \) кН/см²:

\( \Delta l = \frac{P \cdot L_1 + 2P \cdot L_2}{2 \cdot 10^4 \cdot A} \) см.

(Для расчета точного значения удлинения необходимы значения P, L₁, L₂ и A.)

Примечание: Без схемы (рис. 1), длины стержня и площади поперечного сечения, а также значения силы P, невозможно дать полные числовые ответы для эпюр, оценки прочности и удлинения.