Старший брат идет от дома до школы 30 мин, а младший — 40 мин. Через сколько минут старший брат догонит младшего, если тот вышел на 5 мин раньше?

Решение:

Обозначим скорость старшего брата как \( v_1 \), а скорость младшего брата как \( v_2 \). Расстояние от дома до школы обозначим как \( S \).

Из условия задачи известно, что старший брат преодолевает это расстояние за 30 минут, а младший — за 40 минут. Следовательно:

• \( S = v_1 \cdot 30 \)
• \( S = v_2 \cdot 40 \)

Приравнивая эти два выражения, получаем:

\( v_1 \cdot 30 = v_2 \cdot 40 \)

Отсюда находим соотношение скоростей:

\( v_1 = \frac{40}{30} v_2 = \frac{4}{3} v_2 \)

Младший брат вышел на 5 минут раньше. За эти 5 минут он прошёл некоторое расстояние. За это время старший брат ещё не вышел.

Расстояние, которое прошёл младший брат за 5 минут:

\( S_{младшего} = v_2 \cdot 5 \)

Теперь старший брат вышел. Пусть \( t \) — время (в минутах), через которое старший брат догонит младшего. За это время старший брат пройдёт расстояние \( v_1 \cdot t \).

За это же время \( t \) младший брат пройдёт расстояние \( v_2 \cdot t \). Общее расстояние, которое прошёл младший брат к моменту, когда его догнал старший, равно расстоянию, которое он прошёл за первые 5 минут, плюс расстояние, пройденное за время \( t \):

\( S_{общ. младшего} = 5v_2 + v_2t \)

Когда старший брат догонит младшего, они будут на одном и том же расстоянии от дома. То есть:

\( v_1 t = 5v_2 + v_2t \)

Подставим вместо \( v_1 \) выражение \( \frac{4}{3} v_2 \):

\( \frac{4}{3} v_2 t = 5v_2 + v_2t \)

Разделим обе части уравнения на \( v_2 \) (так как \( v_2 \) не равно нулю):

\( \frac{4}{3} t = 5 + t \)

Перенесём \( t \) в левую часть:

\( \frac{4}{3} t - t = 5 \)

\( \frac{4}{3} t - \frac{3}{3} t = 5 \)

\( \frac{1}{3} t = 5 \)

\( t = 5 \cdot 3 \)

\( t = 15 \) минут.

Итак, старший брат догонит младшего через 15 минут после своего выхода.

Ответ: 15 минут.