Статически определимые стержневые системы, работающие на растяжение-сжатие. Два стальных (142) стержня, шарнирно соединенных в точке А, находятся под действием силы Р. Первый имеет длинну C и площадь поперечного сечения A, второй - длинну а и площадь -2A. 1) Найти величину нормальных напряжений, действующих в стержнях. 2) Найти абсолютную и относительную деформацию стержней. A = 13 см^2, a = 2,8 м, c = 2,3 м, P = 130 кН

Решение:

1. Находим величину нормальных напряжений, действующих в стержнях.

По условию задачи, сила \( P \) действует на шарнир \( A \) и вызывает растяжение стержней. Нам дано, что стержни шарнирно соединены, и вся сила \( P \) распределяется между ними. Схема показывает, что стержни образуют равнобедренный треугольник, где угол между ними равен 90 градусов. Следовательно, сила \( P \) делится пополам между двумя стержнями, так как они симметричны относительно направления силы \( P \).

Сила, действующая на каждый стержень, равна:

\[ F = \frac{P}{2} = \frac{130 \text{ кН}}{2} = 65 \text{ кН} = 65000 \text{ Н} \]

Нормальное напряжение \( \sigma \) определяется как сила, деленная на площадь поперечного сечения:

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

Для первого стержня (длина \( c \), площадь \( A \)):

\[ \sigma_1 = \frac{F}{A} = \frac{65000 \text{ Н}}{13 \text{ см}^2} = \frac{65000 \text{ Н}}{13 \times 10^{-4} \text{ м}^2} = 50 \times 10^6 \text{ Па} = 50 \text{ МПа} \]

Для второго стержня (длина \( a \), площадь \( 2A \)):

\[ \sigma_2 = \frac{F}{2A} = \frac{65000 \text{ Н}}{2 \times 13 \text{ см}^2} = \frac{65000 \text{ Н}}{26 \times 10^{-4} \text{ м}^2} = 25 \times 10^6 \text{ Па} = 25 \text{ МПа} \]

2. Находим абсолютную и относительную деформацию стержней.

Модуль Юнга для стали примем \( E = 2 \times 10^{11} \text{ Па} \) (это стандартное значение для стали).

Абсолютная деформация \( \Delta l \) рассчитывается по формуле:

\[ \Delta l = \frac{\sigma \cdot l}{E} \]

Относительная деформация \( \varepsilon \) рассчитывается по формуле:

\[ \varepsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{\sigma}{E} \]

Для первого стержня:

Длина \( l_1 = c = 2.3 \text{ м} \)

Абсолютная деформация:

\[ \Delta l_1 = \frac{\sigma_1 \cdot l_1}{E} = \frac{50 \times 10^6 \text{ Па} \cdot 2.3 \text{ м}}{2 \times 10^{11} \text{ Па}} = \frac{115 \times 10^6}{2 \times 10^{11}} \text{ м} = 0.575 \times 10^{-4} \text{ м} = 0.0575 \text{ мм} \]

Относительная деформация:

\[ \varepsilon_1 = \frac{\sigma_1}{E} = \frac{50 \times 10^6 \text{ Па}}{2 \times 10^{11} \text{ Па}} = 0.25 \times 10^{-3} = 0.00025 \]

Для второго стержня:

Длина \( l_2 = a = 2.8 \text{ м} \)

Абсолютная деформация:

\[ \Delta l_2 = \frac{\sigma_2 \cdot l_2}{E} = \frac{25 \times 10^6 \text{ Па} \cdot 2.8 \text{ м}}{2 \times 10^{11} \text{ Па}} = \frac{70 \times 10^6}{2 \times 10^{11}} \text{ м} = 0.35 \times 10^{-4} \text{ м} = 0.035 \text{ мм} \]

Относительная деформация:

\[ \varepsilon_2 = \frac{\sigma_2}{E} = \frac{25 \times 10^6 \text{ Па}}{2 \times 10^{11} \text{ Па}} = 0.125 \times 10^{-3} = 0.000125 \]

Ответ:

1. Нормальные напряжения: \( \sigma_1 = 50 \text{ МПа} \), \( \sigma_2 = 25 \text{ МПа} \).

2. Абсолютная деформация: \( \Delta l_1 = 0.0575 \text{ мм} \), \( \Delta l_2 = 0.035 \text{ мм} \). Относительная деформация: \( \varepsilon_1 = 0.00025 \), \( \varepsilon_2 = 0.000125 \).