СТАТИСТИКА 7 КЛАСС №1. Решить методом построения графов: В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе — каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис – с Андреем, Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Решение:

Эта задача решается с помощью графов. Каждый участник — это вершина графа, а каждая сыгранная игра — это ребро между двумя вершинами.

1. Общее количество игр:

• Всего участников: 6 (Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий, Елена).
• В круговой системе каждый играет с каждым один раз. Это эквивалентно полному графу K₆.
• Количество ребер в полном графе K_n вычисляется по формуле:

  \[ \text{количество игр} = \frac{n(n-1)}{2} \]

  где n — количество участников.
• Подставляем n = 6:

  \[ \text{количество игр} = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

• Всего должно быть сыграно 15 игр.

2. Сыгранные игры:

• Участники: А (Андрей), Б (Борис), В (Виктор), Г (Галина), Д (Дмитрий), Е (Елена).
• Андрей (А) сыграл с: Борисом (Б), Галиной (Г), Еленой (Е). (3 игры: А-Б, А-Г, А-Е)
• Борис (Б) сыграл с: Андреем (А), Галиной (Г). (2 новые игры: Б-Г, так как А-Б уже учтено).
• Виктор (В) сыграл с: Галиной (Г), Дмитрием (Д), Еленой (Е). (3 новые игры: В-Г, В-Д, В-Е).
• Галина (Г) сыграла с: Андреем (А), Виктором (В), Борисом (Б). (Все эти игры уже учтены: А-Г, Б-Г, В-Г).
• Дмитрий (Д) сыграл с: Виктором (В). (Игра В-Д учтена).
• Елена (Е) сыграла с: Андреем (А), Виктором (В). (Игры А-Е, В-Е учтены).
• Важно: Нужно учитывать, что игры двусторонние (А-Б = Б-А).
• Давайте перечислим уникальные сыгранные игры:

1. А-Б
2. А-Г
3. А-Е
4. Б-Г (Борис еще не играл с Галиной)
5. В-Г (Виктор еще не играл с Галиной)
6. В-Д (Виктор еще не играл сДмитрием)
7. В-Е (Виктор еще не играл сЕленой)

• Сыгранные игры, согласно условию:
• Андрей: с Борисом, Галиной, Еленой (3 игры)
• Борис: с Андреем, Галиной (2 игры, А-Б уже посчитано)
• Виктор: с Галиной, Дмитрием, Еленой (3 игры)
• Галина: с Андреем, Виктором, Борисом (3 игры, но А-Г, Б-Г, В-Г уже посчитаны)
• Суммируем уникальные игры:
• А-Б, А-Г, А-Е (3)
• Б-Г (1)
• В-Г, В-Д, В-Е (3)
• Всего сыграно: 3 + 1 + 3 = 7 игр.

3. Сколько игр осталось:

• Общее количество игр: 15.
• Сыграно игр: 7.
• Осталось игр: 15 - 7 = 8 игр.

Ответ: К настоящему моменту проведено 7 игр, осталось провести 8 игр.