Стая обезьян забавляется. Пятая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные 6 кричат на вершине холма. Сколько обезьян в стае?

Пусть $$x$$ - количество обезьян в стае. По условию, пятая часть их в квадрате резвится в лесу, то есть $$\frac{x^2}{5}$$. Остальные 6 обезьян кричат на вершине холма. Значит, общее количество обезьян в стае можно выразить уравнением: $$\frac{x^2}{5} + 6 = x$$ Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби: $$x^2 + 30 = 5x$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 5x + 30 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант $$D$$ вычисляется по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = -5$$, и $$c = 30$$. Подставим значения: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 25 - 120 = -95$$ Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$), это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. Однако, в условии сказано, что пятая часть *в квадрате* резвится в лесу. Это может быть интерпретировано как $$(\frac{x}{5})^2$$. В этом случае уравнение будет выглядеть так: $$(\frac{x}{5})^2 + 6 = x$$ $$\frac{x^2}{25} + 6 = x$$ Умножим обе части на 25: $$x^2 + 150 = 25x$$ $$x^2 - 25x + 150 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант $$D$$ вычисляется по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = -25$$, и $$c = 150$$. Подставим значения: $$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25$$ Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{25 \pm 5}{2}$$ Первый корень: $$x_1 = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ Второй корень: $$x_2 = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ Проверим оба решения: Для $$x = 15$$: $$(\frac{15}{5})^2 + 6 = 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15$$ - верно. Для $$x = 10$$: $$(\frac{10}{5})^2 + 6 = 2^2 + 6 = 4 + 6 = 10$$ - верно. Таким образом, у задачи два решения: 15 и 10 обезьян. Ответ: 10 или 15