Степень с натуральным показателем. Одночлены І вариант 1. Найти значение выражения. а) 2⋅(3/4)²-(1/2)⁴, б)17 – 5x², если х = -3. 2. Выполнить действия. а) у⁶у¹², г) (3у)⁴, б) (у⁴)⁸, д) (-2а³b²)⁴, в) у¹⁸:y⁵, e) (x²x³)³:(x x³)². 3. Упростить выражение. a) -12ab³⋅3a²b⁵, б) (-3a⁵b²)³, в) 13а³b⋅(-2a³b⁵), г) (9а²х)²⋅(2ах)³, д) (3a²b²)³⋅(-2a³b⁴)². 4. Найти значение выражения. a) (6³)².6⁴ / 6⁷, б) 3⁶⋅27 / 3⁸, в) 5⁹⋅5¹¹ / 5¹⁸, г) 4⁵⋅2⁹ / 64³ 5. Представить выражение в виде степени. a) x² x⁵ xm, б) a⁴ аⁿ а

1. Найти значение выражения.

а) 2⋅(3/4)²-(1/2)⁴

Давай решим это выражение по шагам:

1. Возведем дроби в степень: \[2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{1}{16}\]
2. Умножим 2 на 9/16: \(= \frac{18}{16} - \frac{1}{16}\]
3. Вычтем дроби: \(= \frac{18-1}{16} = \frac{17}{16}\]
4. Представим в виде смешанного числа: \(= 1\frac{1}{16}\]

Ответ: \(1\frac{1}{16}\)

б) 17 – 5x², если x = -3

Подставим значение x в выражение:

1. Подставим x = -3: \[17 - 5 \cdot (-3)^2\]
2. Возведем -3 в квадрат: \[17 - 5 \cdot 9\]
3. Умножим 5 на 9: \[17 - 45\]
4. Вычтем 45 из 17: \(= -28\]

Ответ: -28

2. Выполнить действия.

а) у⁶у¹²

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[y^6 \cdot y^{12} = y^{6+12} = y^{18}\]

Ответ: \(y^{18}\)

б) (у⁴)⁸

При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[(y^4)^8 = y^{4 \cdot 8} = y^{32}\]

Ответ: \(y^{32}\)

в) у¹⁸:y⁵

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \[\frac{y^{18}}{y^5} = y^{18-5} = y^{13}\]

Ответ: \(y^{13}\)

г) (3у)⁴

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: \[(3y)^4 = 3^4 \cdot y^4 = 81y^4\]

Ответ: \(81y^4\)

д) (-2а³b²)⁴

Возведем каждый множитель в четвертую степень:\[(-2a^3b^2)^4 = (-2)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 = 16a^{12}b^8\]

Ответ: \(16a^{12}b^8\)

e) (x²x³)³:(x x³)²

Сначала упростим выражения в скобках, затем возведем в степень и поделим:\[\frac{(x^2x^3)^3}{(xx^3)^2} = \frac{(x^{2+3})^3}{(x^{1+3})^2} = \frac{(x^5)^3}{(x^4)^2} = \frac{x^{15}}{x^8} = x^{15-8} = x^7\]

Ответ: \(x^7\)

3. Упростить выражение.

a) -12ab³⋅3a²b⁵

Умножим коэффициенты и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:\[-12ab^3 \cdot 3a^2b^5 = -12 \cdot 3 \cdot a^{1+2} \cdot b^{3+5} = -36a^3b^8\]

Ответ: \(-36a^3b^8\)

б) (-3a⁵b²)³

Возведем каждый множитель в третью степень:\[(-3a^5b^2)^3 = (-3)^3 \cdot (a^5)^3 \cdot (b^2)^3 = -27a^{15}b^6\]

Ответ: \(-27a^{15}b^6\)

в) 13а³b⋅(-2a³b⁵)

Умножим коэффициенты и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:\[13a^3b \cdot (-2a^3b^5) = 13 \cdot (-2) \cdot a^{3+3} \cdot b^{1+5} = -26a^6b^6\]

Ответ: \(-26a^6b^6\)

г) (9а²х)²⋅(2ах)³

Возведем каждый множитель в степень и перемножим:\[(9a^2x)^2 \cdot (2ax)^3 = 9^2 \cdot (a^2)^2 \cdot x^2 \cdot 2^3 \cdot a^3 \cdot x^3 = 81a^4x^2 \cdot 8a^3x^3 = 81 \cdot 8 \cdot a^{4+3} \cdot x^{2+3} = 648a^7x^5\]

Ответ: \(648a^7x^5\)

д) (3a²b²)³⋅(-2a³b⁴)²

Возведем каждый множитель в степень и перемножим:\[(3a^2b^2)^3 \cdot (-2a^3b^4)^2 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (-2)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 27a^6b^6 \cdot 4a^6b^8 = 27 \cdot 4 \cdot a^{6+6} \cdot b^{6+8} = 108a^{12}b^{14}\]

Ответ: \(108a^{12}b^{14}\)

4. Найти значение выражения.

a) (6³)²⋅6⁴ / 6⁷

Упростим выражение, используя свойства степеней:\[\frac{(6^3)^2 \cdot 6^4}{6^7} = \frac{6^{3 \cdot 2} \cdot 6^4}{6^7} = \frac{6^6 \cdot 6^4}{6^7} = \frac{6^{6+4}}{6^7} = \frac{6^{10}}{6^7} = 6^{10-7} = 6^3 = 216\]

Ответ: 216

б) 3⁶⋅27 / 3⁸

Представим 27 как степень 3, затем упростим:\[\frac{3^6 \cdot 27}{3^8} = \frac{3^6 \cdot 3^3}{3^8} = \frac{3^{6+3}}{3^8} = \frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3\]

Ответ: 3

в) 5⁹⋅5¹¹ / 5¹⁸

Упростим выражение:\[\frac{5^9 \cdot 5^{11}}{5^{18}} = \frac{5^{9+11}}{5^{18}} = \frac{5^{20}}{5^{18}} = 5^{20-18} = 5^2 = 25\]

Ответ: 25

г) 4⁵⋅2⁹ / 64³

Представим все числа как степени 2, затем упростим:\[\frac{4^5 \cdot 2^9}{64^3} = \frac{(2^2)^5 \cdot 2^9}{(2^6)^3} = \frac{2^{10} \cdot 2^9}{2^{18}} = \frac{2^{10+9}}{2^{18}} = \frac{2^{19}}{2^{18}} = 2^{19-18} = 2^1 = 2\]

Ответ: 2

5. Представить выражение в виде степени.

a) x² x⁵ xm

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:\[x^2 \cdot x^5 \cdot x^m = x^{2+5+m} = x^{7+m}\]

Ответ: \(x^{7+m}\)

б) a⁴ аⁿ а

Сложим показатели степеней:\[a^4 \cdot a^n \cdot a = a^{4+n+1} = a^{5+n}\]

Ответ: \(a^{5+n}\)