Стереометрия. 10 класс. Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей. Точка M лежит вне плоскости ABC. Доказать перпендикулярность плоскостей AMD и АВС.

Давай разберем эту задачу по стереометрии. Нам нужно доказать перпендикулярность плоскостей AMD и ABC.

Для начала вспомним основные определения и теоремы, которые нам понадобятся:

• Перпендикулярность плоскостей: Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.
• Перпендикулярность прямой и плоскости: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теперь рассмотрим рисунок и попробуем найти прямую, лежащую в плоскости AMD, которая перпендикулярна плоскости ABC. Предположим, что MO – высота пирамиды, и O – основание этой высоты на плоскости ABC. Тогда MO перпендикулярна плоскости ABC.

Давай это докажем:

1. Так как треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), и AO = OB, то MO перпендикулярна AB. Это следует из свойства высоты в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию.
2. Аналогично, если AD = BD, то MO перпендикулярна CD.

Раз MO перпендикулярна AB и CD (которые лежат в плоскости ABC), то MO перпендикулярна плоскости ABC.

Теперь рассмотрим плоскость AMD. Так как MO перпендикулярна плоскости ABC, а MO лежит в плоскости AMD, то плоскость AMD перпендикулярна плоскости ABC.

Итого:

1. MO ⊥ AB (из равнобедренного треугольника ABM)
2. MO ⊥ CD (из равнобедренного треугольника ADM)
3. MO ⊥ пл. ABC (т.к. MO ⊥ AB и MO ⊥ CD)
4. MO ∈ пл. AMD
5. Следовательно, пл. AMD ⊥ пл. ABC (по определению перпендикулярности плоскостей)

Ответ: Плоскости AMD и ABC перпендикулярны, что и требовалось доказать.