Стереометрия. 11 класс. Таблица 11.9. Пирамида. SO - высота пирамиды. Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 1, 2, 5, 6). 1 S B C E D Дано: АВСD ромб. 3 2 S B 6 C 8 D Дано: АВСD прямоугольник. 4 8 S B A D 6 C Дано: АВ-53, ∠ACB-150°. Найти SO. Найти АС. 5 6 A E 10 S C S B B A D 150 E F C Дано: ABCD трапеция. АВ = 9, CD-4, ADBС. О центр вписанной окружности. Дано: АВ-а, BAC = a, ZSFO=B

Ответ: Решение задач по геометрии.

Решение задачи 1:

Дано: ABCD - ромб, \(AD = 4\), \(\angle ADC = 30^\circ\), \(SO\) - высота пирамиды, \(SE \perp DC\), \( \angle SEO = 45^\circ\)

Найти: Площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Площадь ромба ABCD:
\[S_{ABCD} = AD^2 \cdot sin(\angle ADC) = 4^2 \cdot sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8\]
2. Из прямоугольного треугольника SDE:
\[SE = DE \cdot tan(\angle SDE) = DE \cdot tan(45^\circ) = DE \cdot 1 = DE\]
3. DE = \(\frac{1}{2} DC\) = \(\frac{1}{2} \cdot 4 = 2\)
4. \(SE = 2\)
5. Площадь боковой поверхности:
\[S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot DC \cdot SE = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16\]
6. Площадь полной поверхности пирамиды:
\[S_{полн} = S_{ABCD} + S_{бок} = 8 + 16 = 24\]

Ответ: 24

Решение задачи 2:

Дано: ABCD - прямоугольник, \(AD = 6\), \(CD = 8\), \(SO\) - высота пирамиды, \(SO = 4\)

Найти: Площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Площадь прямоугольника ABCD:
\[S_{ABCD} = AD \cdot CD = 6 \cdot 8 = 48\]
2. Найдем AC (диагональ прямоугольника):
\[AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]
3. \(AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\)
4. Из прямоугольного треугольника \(\Delta SOA\):
\[SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]
5. Найдем SB:
\[SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]
6. Найдем SD:
\[SD = \sqrt{SO^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]
7. Найдем SC:
\[SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]
8. Площадь боковой поверхности:
\[S_{бок} = S_{\Delta SAB} + S_{\Delta SBC} + S_{\Delta SCD} + S_{\Delta SDA} \]
9. Рассмотрим \(\Delta SAB\), \(\Delta SCD\) и \(\Delta SBC\), \(\Delta SDA\):
\[S_{\Delta SAB} = S_{\Delta SCD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{41} = 3\sqrt{41}\] \[S_{\Delta SBC} = S_{\Delta SDA} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{41} = 4\sqrt{41}\] \[S_{бок} = 2 \cdot (3\sqrt{41} + 4\sqrt{41}) = 2 \cdot 7\sqrt{41} = 14\sqrt{41}\]
10. Площадь полной поверхности пирамиды:
\[S_{полн} = S_{ABCD} + S_{бок} = 48 + 14\sqrt{41}\]

Ответ: 48 + 14\(\sqrt{41}\)

Решение задачи 3:

Дано: \(AB = 5\sqrt{3}\), \(\angle ACB = 150^\circ\)

Найти: SO.

Решение:

1. Пусть \(O\) - центр основания пирамиды, тогда \(\angle AOB = \frac{360}{3} = 120^\circ\)
2. По теореме косинусов найдем \(AB\):
\[AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot cos(120^\circ)\] \[AB^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2\] \[(5\sqrt{3})^2 = 3R^2 \Rightarrow 75 = 3R^2 \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5\]
3. Тогда \(OA = R = 5\)
4. Найдем \(SO\), если \(\angle SAO = 30^\circ\):
\[tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} \Rightarrow SO = AO \cdot tan(\angle SAO) = 5 \cdot tan(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Решение задачи 4:

Дано: \(\angle ADC = 60^\circ\), \(AD = 8\), \(CD = 6\)

Найти: AC.

Решение:

1. По теореме косинусов:
\[AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot cos(\angle ADC)\] \[AC^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot cos(60^\circ) = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52\] \[AC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}\]

Ответ: 2\(\sqrt{13}\)

Решение задачи 5:

Дано: ABCD - трапеция, \(AB = 9\), \(CD = 4\), \(AD = BC\), \(\angle DAB = 45^\circ\), \(O\) - центр вписанной окружности.

Найти: Площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Т.к. в трапецию вписана окружность, \(AB + CD = AD + BC\).
2. Т.к. \(AD = BC\), то \(AB + CD = 2AD\)
3. \(AD = \frac{AB + CD}{2} = \frac{9 + 4}{2} = \frac{13}{2} = 6.5\)
4. Проведем высоту \(DH\).
5. Из прямоугольного треугольника \(\Delta AHD\):
\[AH = AD \cdot cos(\angle DAB) = 6.5 \cdot cos(45^\circ) = 6.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{13\sqrt{2}}{4}\]
6. \(BC = AH = AB - CD = 9 - 4 = 5\)
7. Тогда высота:
\[DH = AD \cdot sin(\angle DAB) = 6.5 \cdot sin(45^\circ) = 6.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{13\sqrt{2}}{4}\]
8. Площадь трапеции:
\[S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot DH = \frac{9 + 4}{2} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{4} = \frac{13}{2} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{4} = \frac{169\sqrt{2}}{8}\]
9. Найдем боковую поверхность:
\[S = \frac{1}{2}(9+4+6.5+6.5)h = 13h\]
10. Основание высоты боковой грани находится посередине стороны основания.
11. Так как в трапецию вписана окружность, то высота пирамиды равна ее диаметру.
12. Полная поверхность:
\[S_{полн} = \frac{169\sqrt{2}}{8} + S_{бок}\]

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды \(\frac{169\sqrt{2}}{8} + S_{бок}\)

Решение задачи 6:

Дано: \(AB = a\), \(\angle BAC = \alpha\), \(\angle SFO = \beta\)

Найти: Площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Площадь основания:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot AC \cdot sin(\alpha)\]
2. \(AC = \frac{AB}{cos(\angle BAC)} = \frac{a}{cos(\alpha)}\)
3. \(S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{cos(\alpha)} \cdot sin(\alpha) = \frac{a^2}{2} tg(\alpha)\)
4. Пусть \(SF\) - высота пирамиды.
5. Из треугольника \(\Delta SFO\):
\[tg(\beta) = \frac{SO}{FO} \Rightarrow SO = FO \cdot tg(\beta)\]
6. Полная поверхность пирамиды:
\[S_{полн} = S_{ABC} + S_{бок}\]

Ответ: Выражение для площади полной поверхности через заданные параметры.

Ответ: Решение задач по геометрии.