Стереометрия. 10 класс. Таблица 10.22. Угол между плоскостями. Плоскости а и в пересекаются по прямой а. Найти угол между плоскостями а и В.

Рассмотрим каждое задание отдельно.

1. Дано: прямоугольный треугольник ABC, BC = $$5\sqrt{3}$$, AB = 10. Найти угол α между плоскостями.

   Решение:

   Угол α является линейным углом двугранного угла между плоскостями. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Катет BC лежит против угла α. Тогда:

   $$ \sin \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

   Следовательно, угол $$ \alpha = 60^\circ $$.

   Ответ: $$60^\circ$$

2. Дано: треугольник ABC, $$ \angle BAC = 90^\circ $$, AO = 6, AD = 20, OC = 15. Найти угол α между плоскостями.

   Решение:

   Угол α является линейным углом двугранного угла между плоскостями. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Пусть BD = x, тогда BC = BD + DC = x + 15. По теореме Пифагора для треугольника ABD: $$ AB^2 = AD^2 - BD^2 = 20^2 - x^2 = 400 - x^2 $$.

   По теореме Пифагора для треугольника ABC: $$ AC^2 = BC^2 - AB^2 = (x+15)^2 - (400 - x^2) = x^2 + 30x + 225 - 400 + x^2 = 2x^2 + 30x - 175 $$.

   Так как O - середина BC, то BO = OC = 15, DC = OC = 15.

   Так как треугольник ABC прямоугольный, то $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$. Из треугольника BAO: $$ AB^2 = AO^2 + BO^2 = 6^2 + 15^2 = 36 + 225 = 261 $$.

   Из треугольника ACO: $$ AC^2 = AO^2 + OC^2 = 6^2 + 15^2 = 36 + 225 = 261 $$.

   Из теоремы косинусов: $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC = AB^2 + AC^2 = 261 + 261 = 522 $$. Следовательно, $$ BC = \sqrt{522} $$.

   Рассмотрим треугольник ABC. $$ AB = AC = \sqrt{261} = 3\sqrt{29} $$. Тогда треугольник ABC равнобедренный.

   Следовательно, $$ \angle ABC = \angle ACB = \frac{180 - 90}{2} = 45^\circ $$.

   Треугольники ABO и ACO равны. Следовательно, $$ \angle BAO = \angle CAO = \frac{90}{2} = 45^\circ $$.

   $$ \angle AOD = \angle AOC = 90^\circ $$. Следовательно, $$ \sin \alpha = \frac{AO}{AD} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3 $$. Тогда $$ \alpha = \arcsin(0,3) $$.

   Ответ: $$ \arcsin(0,3) $$

3. Дано: AC = $$ 2\sqrt{7} $$, AB = 4, BC = 6. Найти угол α между плоскостями.

   Решение:

   По теореме косинусов найдем косинус угла ABC: $$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC $$.

   $$ \cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{4^2 + 6^2 - (2\sqrt{7})^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 28}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} $$

   Тогда угол $$ \angle ABC = 60^\circ $$.

   Так как угол ABC является линейным углом двугранного угла между плоскостями, то угол α = 60°.

   Ответ: $$ 60^\circ $$

4. Дано: AB = 11, $$ A_1B_1 = 10 $$. Найти угол α между плоскостями.

   Решение:

   Пусть BB1 = h. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ A_1BB_1 $$. Тогда $$ A_1B^2 = A_1B_1^2 + BB_1^2 = 10^2 + h^2 $$.

   Найдем косинус угла между плоскостями: $$ \cos \alpha = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{10}{11} $$. Тогда угол $$ \alpha = \arccos(\frac{10}{11}) $$.

   Ответ: $$ \arccos(\frac{10}{11}) $$

5. Дано: прямая CD перпендикулярна плоскости ADB, $$ \angle ADB = 90^\circ $$. Найти угол между плоскостями ACB и ADC.

   Решение:

   Пусть $$ \angle CAB = 30^\circ $$, $$ \angle CBA = 45^\circ $$. Тогда $$ \angle ACB = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $$.

   Прямая CD перпендикулярна плоскости ADB, следовательно, CD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, CD перпендикулярна AD и BD. Тогда треугольники CDA и CDB - прямоугольные.

   Пусть DE - перпендикуляр из D на AB. Так как плоскость CDB перпендикулярна плоскости ADB, то DE перпендикулярна AB. $$ \angle ADE = 90 - 30 = 60^\circ $$, $$ \angle BDE = 90 - 45 = 45^\circ $$.

   Рассмотрим плоскости ACB и ADC. Угол между этими плоскостями - это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения AC. Линия пересечения - AC. Необходимо найти угол DEC.

   $$ \angle ADC = 90^\circ $$.

   Обозначим угол между плоскостями ACB и ADC через α. Тогда:

   Ответ: угол между плоскостями ACB и ADC равен $$ 90^\circ $$.

6. Дано: ABCD – квадрат. Прямая MO перпендикулярна плоскости АВС. Найти угол между плоскостями MDC и ABC.

   Решение:

   Т.к. ABCD - квадрат, то все его углы прямые. Т.к. МО перпендикулярна плоскости АВС, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Пусть Е - середина DC. Тогда МО перпендикулярна DC, и ME перпендикулярна DC. Следовательно, угол MEO - линейный угол двугранного угла между плоскостями MDC и ABC.

   Пусть сторона квадрата равна a, тогда OE = a/2. Т.к. MO перпендикулярна плоскости ABC, то треугольник MOE - прямоугольный. Обозначим угол MEO через α. Тогда tg α = MO/OE = MO/(a/2) = (2MO)/a.

   Т.к. ничего не сказано про длину MO, то угол α будет зависеть от длины MO.

   Ответ: угол между плоскостями MDC и ABC равен $$ \arctan(\frac{2MO}{a}) $$, где а - сторона квадрата ABCD.