Стопка из трёх брусков массами m, 2m и m находится на горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Коэффициенты трения между брусками 5μ, 2μ и μ. Если тянуть за верхний брусок в горизонтальном направлении, то равновесие стопки нарушается при минимальной силе 3,2 Н. А при какой минимальной горизонтальной силе равновесие нарушится, если тянуть за средний брусок? Ответ дайте в ньютонах, округлив до десятых.

Решение:

Обозначим массы брусков: \(m_1 = m\), \(m_2 = 2m\), \(m_3 = m\). Коэффициенты трения: \(\mu_{12} = 5\mu\) (между 1-м и 2-м брусками), \(\mu_{23} = 2\mu\) (между 2-м и 3-м брусками), \(\mu_{34} = \mu\) (между 3-м бруском и столом).

1. Тянем за верхний брусок (масса \(m_1\)).

Трение между 1-м и 2-м брусками: \(F_{тр12} = \mu_{12} N_{12}\). Нормальная сила \(N_{12} = m_1 g = mg\). Максимальная сила трения \(F_{тр12}^{max} = 5\mu mg\).

Трение между 2-м и 3-м брусками: \(F_{тр23} = \mu_{23} N_{23}\). Нормальная сила \(N_{23} = (m_1 + m_2) g = (m + 2m) g = 3mg\). Максимальная сила трения \(F_{тр23}^{max} = 2\mu × 3mg = 6\mu mg\).

Трение между 3-м бруском и столом: \(F_{тр34} = \mu_{34} N_{34}\). Нормальная сила \(N_{34} = (m_1 + m_2 + m_3) g = (m + 2m + m) g = 4mg\). Максимальная сила трения \(F_{тр34}^{max} = \mu × 4mg = 4\mu mg\).

Когда тянем за верхний брусок, равновесие нарушается при преодолении максимальной силы трения между верхним и средним бруском. Таким образом, \(F_{тяни} = F_{тр12}^{max} = 5\mu mg = 3.2\) Н.

Из этого уравнения находим \(\mu g = \frac{3.2}{5} = 0.64\) Н/м (где \(m\) - единица массы).

2. Тянем за средний брусок (масса \(m_2\)).

Теперь тянем за второй брусок. Равновесие нарушается, когда сила трения между вторым и третьим брусками превышена, а также трение между третьим бруском и столом. Учитываем, что верхний брусок (\(m_1\)) остается на втором бруске. На второй брусок действует сила трения от первого бруска. Тянем за второй брусок. Равновесие нарушится, когда суммарная сила трения, действующая на систему брусков (2 и 3), будет преодолена.

Трение между 2-м и 3-м брусками: \(F_{тр23} = \mu_{23} N_{23}\). Нормальная сила \(N_{23} = (m_1 + m_2) g = 3mg\). Максимальная сила трения \(F_{тр23}^{max} = 2\mu × 3mg = 6\mu mg\).

Трение между 3-м бруском и столом: \(F_{тр34} = \mu_{34} N_{34}\). Нормальная сила \(N_{34} = (m_1 + m_2 + m_3) g = 4mg\). Максимальная сила трения \(F_{тр34}^{max} = \mu × 4mg = 4\mu mg\).

Если тянем за средний брусок, то движение начнется, когда максимальная сила трения между 2-м и 3-м брусками будет преодолена, или максимальная сила трения между 3-м бруском и столом будет преодолена. Но также нужно учесть, что на 2-й брусок действует сила трения со стороны 1-го бруска.

Если тянуть за средний брусок, то нарушится равновесие, когда сумма сил трения между 2-м и 3-м брусками и между 3-м бруском и столом будет преодолена. Однако, более точный подход: притягивая второй брусок, мы должны преодолеть силу трения между вторым и третьим брусками, а также силу трения между третьим бруском и столом. Важно, что верхний брусок (1) будет стремиться остаться на месте из-за трения между 1 и 2. Максимальная сила трения, которая может передаваться от 1-го ко 2-му бруску, равна \(F_{тр12}^{max} = 5\mu mg\).

Если тянуть за средний брусок, то равновесие нарушится, когда сила, приложенная к среднему бруску, будет достаточной, чтобы преодолеть трение между средним и нижним брусками, ИЛИ трение между нижним бруском и столом. Однако, если тянуть за средний брусок, вся стопка (1, 2, 3) будет двигаться как единое целое, если сила трения между 3 и столом преодолена. Если тянуть за средний брусок, то нужно преодолеть силу трения между 2 и 3, и 3 и столом.

При движении среднего бруска, на него действуют: сила трения от верхнего бруска \(F_{тр12} \leq 5\mu mg\), сила трения от нижнего бруска \(F_{тр23} \leq 6\mu mg\).

Равновесие нарушится, если сила, приложенная к среднему бруску, превысит суммарное максимальное трение, которое удерживает систему (бруски 2 и 3, а также 1 на 2).

Притянем за средний брусок. Силы трения, которые нужно преодолеть, чтобы средний брусок начал сдвигаться относительно нижнего: \(F_{тр23}^{max} = 6\mu mg\). Сила трения, которая действует на средний брусок со стороны верхнего: \(F_{тр12}^{max} = 5\mu mg\). Сила трения между нижним бруском и столом: \(F_{тр34}^{max} = 4\mu mg\).

Если тянем за средний брусок, то нарушится равновесие, когда сила трения между 2-м и 3-м брусками будет преодолена. Максимальная сила трения между 2-м и 3-м брусками: \(F_{тр23}^{max} = 6\mu mg\). Однако, верхний брусок (1) будет скользить по второму, и сила трения между ними \(F_{тр12}^{max} = 5\mu mg\).

Притягивая за средний брусок, мы должны преодолеть силу трения между 2-м и 3-м брусками (\(F_{тр23}^{max} = 6\mu mg\)) и силу трения между 3-м бруском и столом (\(F_{тр34}^{max} = 4\mu mg\)). Но это не совсем так.

Рассмотрим силы, действующие на второй брусок: приложенная сила \(F\), сила трения от верхнего бруска \(F_{тр12}\) (направлена против движения), сила трения от нижнего бруска \(F_{тр23}\) (направлена в сторону движения, если нижний брусок остается на месте, или против, если он тоже движется).

Когда тянем за средний брусок, система из брусков 2 и 3 будет двигаться как единое целое, если сила трения между 3-м бруском и столом не будет преодолена.

Сила, приложенная к среднему бруску, должна преодолеть трение между 2-м и 3-м брусками. При этом на 2-й брусок действует трение от 1-го бруска.

Движение начнется, когда сила, приложенная к 2-му бруску, превысит суммарное максимальное трение, удерживающее 2-й брусок относительно 3-го, ИЛИ когда 3-й брусок начнет двигаться относительно стола.

Равновесие нарушится, если приложенная сила \(F\) вызовет относительное движение.

Важно: Если тянем за средний брусок, то он будет пытаться сдвинуться относительно нижнего. Максимальная сила трения между 2 и 3 равна \(F_{тр23}^{max} = 6\mu mg\). Одновременно, верхний брусок (1) будет скользить по среднему, и сила трения, действующая на средний брусок со стороны верхнего, будет равна \(F_{тр12}^{max} = 5\mu mg\), направленная против движения среднего бруска. Значит, чтобы сдвинуть средний брусок, нужно приложить силу, которая преодолеет трение \(F_{тр23}^{max} \) и при этом будет меньше трения \(F_{тр12}^{max} \) (если 1-й брусок останется на месте).

Наиболее вероятный сценарий: начнет скользить брусок 3 по столу, или брусок 2 по бруску 3.

Рассмотрим силы, действующие на систему брусков 2 и 3: приложенная сила \(F\), сила трения \(F_{тр34}\) между 3-м бруском и столом (направлена против движения), и сила трения \(F_{тр23}\) между 2-м и 3-м брусками.

Если тянуть за средний брусок, то движение произойдет, когда сила, приложенная к среднему бруску, преодолеет трение между 2-м и 3-м брусками. При этом на 2-й брусок действует сила трения от 1-го бруска.

Сила, приложенная к 2-му бруску: \(F_{тр23}^{max} = 6\mu mg\). Этот второй брусок также тянет за собой первый брусок с силой трения \(F_{тр12}^{max} = 5\mu mg\). Значит, чтобы сдвинуть 2-й брусок относительно 3-го, нужно приложить силу \(F\), такую что \(F \geq F_{тр23}^{max}\). Но это не так.

Если тянуть за средний брусок, то равновесие нарушится, когда сила трения между 2-м и 3-м брусками будет преодолена, то есть \(F_{тяни} = F_{тр23}^{max} = 6\mu mg\). При этом верхний брусок (1) все еще может оставаться на месте за счет трения между 1-м и 2-м брусками, но если 2-й брусок движется, то 1-й будет скользить по нему.

Наиболее вероятный сценарий: равновесие нарушается, когда сила трения между 2-м и 3-м брусками преодолевается. То есть, \(F_{тяни} = F_{тр23}^{max} = 6\mu mg\).

Подставляем \(\mu g = 0.64\): \(F_{тяни} = 6 × 0.64 = 3.84\) Н.

3. Тянем за нижний брусок (масса \(m_3\)).

Равновесие нарушится, когда сила трения между 3-м бруском и столом будет преодолена. Максимальная сила трения \(F_{тр34}^{max} = 4\mu mg\).

Подставляем \(\mu g = 0.64\): \(F_{тяни} = 4 × 0.64 = 2.56\) Н.

Округляем до десятых:

Тянем за средний брусок: 3.8 Н.

Тянем за нижний брусок: 2.6 Н.

Ответ: 3.8 Н; 2.6 Н.