Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 32. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как CM — медиана, точка M является серединой отрезка AB:

\(AM=MB=\frac{AB}{2}=16\).

Обозначим \(AH=x\), а \(CH=h\). Тогда \(HM=x-16\), \(HB=32-x\).

По теореме Пифагора:

\(CM^2=(x-16)^2+h^2\),

\(CB^2=(32-x)^2+h^2\).

По условию \(CM=CB\), поэтому:

\[(x-16)^2+h^2=(32-x)^2+h^2.\]

Сократим \(h^2\) и раскроем скобки:

\[x^2-32x+256=x^2-64x+1024,\]

\[32x=768,\qquad x=24.\]

Ответ: 24.