12. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.

Доказательство: 1. Поскольку M - середина AD, то AM = MD = CD (так как AD = 2CD). 2. Рассмотрим треугольник MBC. Так как BC = AD (свойство параллелограмма) и AD = 2CD, то BC = 2CD. 3. Также, MC = MD + DC = CD + CD = 2CD, значит MC = BC. 4. Следовательно, треугольник BCM равнобедренный (MC = BC), и углы при основании равны: угол MBC = угол BMC. 5. Рассмотрим треугольник ABM. У него AM = CD, и AB = CD, следовательно, AM = AB, и треугольник ABM - равнобедренный (AB = AM), углы при основании равны: угол ABM = угол AMB. 6. Углы AMB и BMC - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BM, поэтому угол AMB = угол MBC. 7. Из равенств углов: угол ABM = угол AMB = угол MBC, следует, что угол ABM = угол MBC, а это значит, что BM - биссектриса угла ABC. Что и требовалось доказать.