Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

Доказательство:

Дано:

• ABCD — параллелограмм.
• \( BC = 2 CD \)
• K — середина BC.

Доказать:

• DK — биссектриса \( \angle ADC \).

Доказательство:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AD = BC \) и \( AB = CD \).
2. По условию \( BC = 2 CD \). Следовательно, \( AD = 2 CD \).
3. Так как K — середина BC, то \( BK = KC = \frac{1}{2} BC \).
4. Из \( AD = BC \) и \( KC = \frac{1}{2} BC \) следует, что \( AD = 2 KC \).
5. Также, \( KC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} AD \).
6. Рассмотрим треугольник DKC.
7. Проведем прямую DK.
8. Углы \( \angle DKC \) и \( \angle KDA \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей DK. Следовательно, \( \angle DKC = \angle KDA \).
9. Углы \( \angle CDK \) и \( \angle DKC \) являются накрест лежащими при параллельных прямых CD и AB (что не так, CD и AB не параллельны, CD и AB параллельны, а DK не секущая для них) ...
10. Переформулируем:
11. Углы \( \angle KCD \) и \( \angle BCD \) — один и тот же угол.
12. Углы \( \angle ADC \) и \( \angle BCD \) — односторонние углы при параллельных прямых AD и BC и секущей CD, значит, их сумма равна 180 градусов.
13. Углы \( \angle ADC \) и \( \angle ABC \) — противоположные углы параллелограмма, значит, \( \angle ADC = \angle ABC \).
14. Углы \( \angle BCD \) и \( \angle ABC \) — односторонние углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, значит, \( \angle BCD + \angle ABC = 180^{\circ} \).
15. Из \( \angle BCD + \angle ABC = 180^{\circ} \) и \( \angle ABC = \angle ADC \) следует, что \( \angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ} \).
16. В треугольнике DKC:
17. Угол \( \angle KDC \) и угол \( \angle DCK \) (или \( \angle BCD \)).
18. Угол \( \angle DKC \) и угол \( \angle KDA \) (накрест лежащие при BC || AD и секущей DK).
19. Значит, \( \angle KDC = \angle DKC \) (так как \( \angle KDA = \angle DKC \) и \( \angle KDC \) — это часть \( \angle ADC \)).
20. Если \( \angle KDC = \angle DKC \), то треугольник DKC — равнобедренный с основанием \( KC \).
21. Следовательно, \( CD = KC \).
22. Мы знаем, что \( KC = \frac{1}{2} BC \).
23. Значит, \( CD = \frac{1}{2} BC \), или \( BC = 2 CD \). Это условие нам дано.
24. Теперь докажем, что DK — биссектриса.
25. Мы хотим показать, что \( \angle ADK = \angle CDK \).
26. Мы уже показали, что \( \angle KDA = \angle DKC \).
27. Также, \( \angle CDK \) и \( \angle KDA \) — смежные углы, составляющие \( \angle ADC \).
28. Рассмотрим треугольник DKC. \( CD = KC \) (из равнобедренности).
29. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle CDK = \angle DKC \).
30. Так как \( \angle DKC = \angle KDA \) (как накрест лежащие), то \( \angle CDK = \angle KDA \).
31. Угол \( \angle ADC = \angle CDK + \angle KDA \).
32. Если \( \angle CDK = \angle KDA \), то DK делит угол ADC пополам.
33. Следовательно, DK — биссектриса угла ADC.

Что и требовалось доказать.