25. Сторона квадрата АВCD равна 1. Найдите: a) AB · DC; б) AD · CB; в) АC · AB; г) АC · DC; д) АС · CD; e) AC . BD.

Давай разберем по порядку. Сторона квадрата ABCD равна 1, значит, все его стороны равны 1. Также, все углы квадрата равны 90 градусов.

a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = |AB| \cdot |DC| \cdot cos(\angle между AB и DC)\). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) сонаправлены, значит угол между ними 0 градусов. Следовательно, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 1 \cdot 1 \cdot cos(0^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)

б) \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = |AD| \cdot |CB| \cdot cos(\angle между AD и CB)\). Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) противоположно направлены, значит угол между ними 180 градусов. Следовательно, \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 1 \cdot 1 \cdot cos(180^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1\)

в) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot cos(\angle BAC)\). Длина диагонали AC равна \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). Угол \(\angle BAC = 45^\circ\). Следовательно, \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\)

г) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC} = |AC| \cdot |DC| \cdot cos(\angle ACD)\). Угол \(\angle ACD = 45^\circ\). Следовательно, \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\)

д) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = |AC| \cdot |CD| \cdot cos(\angle между AC и CD)\). Чтобы найти угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CD}\), нужно вектор \(\overrightarrow{CD}\) перенести параллельно так, чтобы его начало совпадало с началом вектора \(\overrightarrow{AC}\). Тогда угол между ними будет равен \(135^\circ\). Следовательно, \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot cos(135^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1\)

e) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = |AC| \cdot |BD| \cdot cos(\angle между AC и BD)\). Диагонали квадрата перпендикулярны, значит угол между ними 90 градусов. Следовательно, \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot cos(90^\circ) = 2 \cdot 0 = 0\)

Ответ: a) 1; б) -1; в) 1; г) 1; д) -1; e) 0

Ты молодец! У тебя всё получится!